Ｄ-014　５芒星正12面体を別の立体と見る

■１■春日部高校の数学教材のＨＰ(※)の中に、綿棒多面体の一部の見やすい画像があった。その中に面が５芒星の正12面体の立体を、正６面体の12本の稜線ごとに５色に色分けして示したものがあった。これを手に取って回し見れば、この立体が５つの正６面体の自己相貫体でもあることが見て取れるだろう。

■２■綿棒多面体は面がないので、裏の稜線まで見えて相貫体をトレースし易い。しかしちゃんと色分けしてあっても、１つの正６面体を「図」として見ている間は、他の４つの正６面体が「地」としてしか見て取れない。３次元空間でこの正６面体の５重相貫体は、全体としてみると別の立体にしか見えない。

　　　

■３■これが正６面体の５重自己相貫体であることを、より分かり易くするには12本ずつの線でなく、５つの正６面体の全面を実際に色分けしてみればよい。上図は５色に色分けした形を示したものだが、これは明らかに正５角形面の12面が平面の正12面体ではない。さらに言えば５芒星面ですら平面ではない。

■４■もちろん実際に線がなくても、この60本の綿棒からなる５芒星12個を正12面体と見ることには何の問題もない。ただこの同じ正12面体のイメージによるフレームの上や内部に、５芒星・正３角形・正５角形の面を見ることによって、それらを組み合わせてできる他の異なる立体として捉えることもできる。

　　　
　　　

■６■ここに示した３つの立体は左からSmall ditrigonal icsidodecahedron、Ditrigonal icsidodecahedron、Great ditrigonal icsidodecahedronという名前が付いている。日本語に訳してみても、名前は左から順に<小２重３角20面12面体>、<２重３角12面体>、<大２重３角20面12面体>と実に覚えにくい。

Small ditrigonal icsidodecahedron 小２重３角20面12面体　<５芒星＋内部正３角形>
Ditrigonal icsidodecahedron　　　 ２重３角12面体　　　　　 <５芒星＋内部正５角形>
Great ditrigonal icsidodecahedron 大２重３角20面12面体　<内部正３角形＋内部正５角形>

■７■綿棒60本から５芒星を12個作り、それをつなぎ合わせて正12面体を作ることができた。同じように綿棒60本の５芒星を12個から、そのつなぎ合わせ肩を変えることによって20・12面体を作ることもできる。下図は綿棒多面体の画像に立体の稜線を重ねて、正12面体と20・12面体の違いを示してみたものだ。

　　　

(※)このＨＰは埼玉県春日部高校の数学教材の資料としてあげてくれているものだ。10年以上前にここの一人の先生から、ＨＰに用いてよいかと当方に打診があった。その時、山口県の多面体研究家山本裕一氏の存在を紹介したのだが、連絡が取れなかったらしい。しかし現在の画像を見ると、山本氏のＨＰを参考にしていると思われるものが幾つかある。