Ｄ-013　５芒星の正12面体と小星型12面体

■１■信濃大町での綿棒多面体制作ワークの時、参加者のなかで５本の綿棒でできる５芒星を幾つも作っている女の子がいた。それを見て、これを12個作って合体させれば、補強なしで自立する正12面体ができるということに思いが至った。しかもコンパクトだ。しかし平面画像だけでは構造が良く分からない。

■２■１辺が綿棒１単位の正20面体は綿棒30本から制作できるが、正12面体は内部補強も含めると全部で綿棒90本が必要だった。この１面が５芒星の正12面体は、本来稜線があるところには何もないが、その長さは綿棒１単位に対して１／φだから、その大きさは１辺が綿棒１単位の正20面体とほぼ同じになる。

■３■ただし綿棒には太さがあるから、交差させて作る５芒星では歪みが大きいので、ベビー綿棒を使用して制作すると歪みが小さくて済む。画像はベビー綿棒60本で制作した、５芒星面正12面体である。２次元画像だと分かりにくいので、黄線で正12面体の縁のカタチを図で示してみたが見て取れるだろうか。

　　　

■４■制作時は５芒星の綿棒の上下交差の組合せや正５角形が歪まないよう気を使う必要があるだろうと思ったが、端点をペーパーセメントで繋げていく作業の時に、少しずれたり歪んだままの５芒星であっても自然に組み上がり、全体が繋がると全体で均整のとれた５芒星12面体が出現することに驚かされた。

■５■しかしその後、もしこの５芒星の正12面体の各面に、さらに60本の綿棒を５角錐のようにつけたらどうなるだろうと思いついた。今度は軸をオレンジ色に着色した普通の綿棒で実際にやってみた。すると今度は大きめな小星型12面体になった。各辺同士が黄金比の関係だからだが、思いがけぬ発見だった。

■６■最初に作っていた１辺が綿棒１単位の正12面体は、各面の内側に綿棒５本ずつを正５角錐の形に接続して補強していたが、この補強した綿棒だけからなる立体は、大星形12面体だった。そしてそのさらに内側に、頂点を繋ぐようにベビー綿棒を30本組合せて、小さな小星型12面体を入れ込むことができた。

　　　

■７■２つの異なる方法で制作した正12面体の外と内に、異なる大きさの小星型12面体が接続する。これらはみな綿棒同士が黄金比で交差しあっているから、同じ綿棒の長さで構成することができるのだということが、作ってみて始めて分かった。これらの関係をイメージだけで立体的に認識することは難しい。