Ｄ-012　正20面体の59種の星形化

■１■例えば正５角形の各辺を延長すると５芒星ができ、正６角形からは６芒星ができるが、このような操作を「星形化」という。この操作は正多角形の内側で点同士を繋いでも同様の形ができる。話を分かり易くするために正多角形に限定して話を進めるが、正３角形と正方形は、星形化することができない。

■２■正５角形は辺がひとつながりの一筆書きの星形となるが、正６角形は２つの正３角形になる。また正７角形は１つ飛ばしで点を繋いだ太った７芒星と２つ飛ばしの痩せた７芒星ができる。正８角形は２つ飛ばしの正方形２つと３つ飛ばしの痩せた８芒星とができる。何個飛ばしかは、何回周るかに等しい。

■３■次元を１つ上げて、１つの多面体の稜線を外側に向けて延長したり、多面体内部に対稜線を入れたりすることによって、外に凸の星形の多面体ができる。このような操作を「多面体の星形化」という。これにも各稜線がひと繋がりになっているものと、２個以上の多面体が相貫しあう複合多面体とがある。


　　　　　　　　正20面体の星形化による全ての立体59種

■４■正４面体と正６面体からは星形図形ができない。正８面体は辺による星型化はなく、面による星形化として、正８面体自身とケプラーの星型８面体がある。正12面体の星形図形は、辺による星型化から小星型12面体ができ、面による星型は、正12面体自身、小星型12面体、大12面体、大星型12面体がある。

■５■正12面体の星形化からは、正12面体自身を除けば全部で小星型12面体、大12面体、大星型12面体の３種類だけだった。それに対して正20面体からは全部で58種類の星形図形が得られる。H.S.M.コセクターたちは1938年に、正20面体自身も含めた『59個の20面体』という題の本で、その全てを紹介している。

■６■プラトン立体の星形化の話はこれで一応終わりだが、そもそもこの話をからめようと思ったのは、正20面体の星形化の数が59個であるということからだ。59という数は生命サイクルに深い関りがある月の朔望周期２回分の日数に等しいからだ｡例えば人間の卵巣からは左右交互に59日ごとに卵子を排出する｡


　　　　　　　 　　正20面体の星形化のうちの10個

■７■全ての面が正多角形でかつ全ての辺長が等しい凸多面体の内で、プラトン立体、アルキメデス立体、アルキメデスの角柱、アルキメデスの反角柱以外のもの、つまりジョンソンの立体が全部で92種類であると知った時も、自然界にある最大の原子ウラニウムの原子番号や、人間の染色体数の倍を連想した。

■８■多面体や原子､数や形､地球の１年や１日、月や他の惑星たちの諸周期、音や色、言葉と論理などはみな、私たち人間の思考の形としてまだ知り得ないところで呼応し合っている、いやさらに半歩進んで同じものの異なる捉え方として解することができるのではないだろうか。ここに一言だけ記しておこう。

(※)下の２画像は『les cinquante-neuf stellations de l'icosaedre regulier』より借用。