D-007 正12面体の3軸に沿った分割

■1■5重対称性の正12面体を、3軸直交座標の原点Oを立体の重心にして、8象限方向に8分割してみよう。これは正6面体の各面に1/φの辺長で内接する正12面体を、正6面体の12本の直交する辺の方向に切り開くことと同じだが、ここでは煩雑になるので正6面体を除き、正12面体のみで話を進める。

   

■2■体積1/8のピースは鏡像対称はあるものの全て合同である。このピースをさらに直交3軸に沿って、図のようにさらに1つの正6面体、3つの3角柱、3つの4角錐の合計7つのピースに分割する。最初の正12面体の1辺が2だとすると、1/8ピースの3か所にその1/2である単位長1が現われる。

   

■3■結果としてこの1/8ピース、及びそれをさらに分解した正6面体、3角柱、4角錐の直交3軸に沿った長さが1と黄金比φだけで評外科できることが分かる。5重対称性の立体を3軸直交で見たり切断するところに黄金比が出現すると表現することも可能だろう。正6面体の体積はφ
=4.236…である。

■4■3角柱の体積は1/2=0.809…であり、4角錐の体積は0.333…となる。これらのピースを全て集めれば、1辺2の正12面体の体積61.3…となる。なお正12面体の体積を出す公式はV={(15+7√5)a
}/4である(ただしaは1辺の長さ)。



()『MATEMATICAS VISUALES』 を参考にさせてもらいました。