Ｄ-007　正12面体の３軸に沿った分割

■１■５重対称性の正12面体を、３軸直交座標の原点Ｏを立体の重心にして、８象限方向に８分割してみよう。これは正６面体の各面に１／φ^２の辺長で内接する正12面体を、正６面体の12本の直交する辺の方向に切り開くことと同じだが、ここでは煩雑になるので正６面体を除き、正12面体のみで話を進める。



■２■体積１／８のピースは鏡像対称はあるものの全て合同である。このピースをさらに直交３軸に沿って、図のようにさらに１つの正６面体、３つの３角柱、３つの４角錐の合計７つのピースに分割する。最初の正12面体の１辺が２だとすると、１／８ピースの３か所にその１／２である単位長１が現われる。



■３■結果としてこの１／８ピース、及びそれをさらに分解した正６面体、３角柱、４角錐の直交３軸に沿った長さが１と黄金比φだけで表現できることが分かる。５重対称性の立体を３軸直交で見たり切断するところに黄金比が出現すると表現することも可能であろう。正６面体の体積はφ^３＝4.236…である｡

■４■３角柱の体積はφ／２＝0.809…であり、４角錐の体積は0.333…となる。これらのピースを全て集めれば、１辺２の正12面体の体積61.3…となるなお正12面体の体積を出す公式はＶ＝{(15＋７√５)ａ^３}／４である（ただしａは１辺の長さ)。３軸直交系と５重回転対称性の系を重ね見る視座は重要だ。

(※)『MATEMATICAS VISUALES』 を参考にさせてもらいました。