Ｄ-006　５重自己相貫体の双対と10進法

■１■正４面体の５重自己相貫体は、その内部にある重畳部分が正20面体となり、外部頂点を結ぶと正12面体になるということはすでに見た。では今度は逆に正12面体と外接球を共有する５重の正４面体が、その４×５個の頂点を正12面体の20の頂点と、どのように繋がりながら内接しているのかを見てみよう。

　　　

■２■正４面体の５重自己相貫体には右手系と左手系があり、これをさらに１つに重ねると10重の自己相貫体になる。５重の自己相貫体にはこの他に正６面体の相貫体と正８面体の相貫体の２種が存在する。ではこの２つの５重自己相貫体の外部頂点連結による立体と、内部重畳部分からなる立体を見てみよう。

■３■正８面体の５重自己相貫体の外部頂点連結による立体は20・12面体であり、内部重畳部分は正20面体である。この正20面体の12の頂点は、５つの正８面体の稜線を黄金分割している。一方双対の正６面体の５重自己相貫体の外部頂点連結による立体は正12面体であり、内部重畳部立体は菱形30面体である。

　　　５重の正６面体の内部重畳立体は菱形30面体
　　　５重の正８面体の内部重畳立体は正20面体

　　　５重の正６面体の外部頂点立体は正12面体
　　　５重の正８面体の外部頂点立体は20・12面体

■４■整理しよう。まず正６面体と正８面体は単体でも互いに双対立体である。ちょうど正12面体と正20面体の中心角と２面角が、互いに交差して180度になった(※)ように、正８面体と正６面体の５重の自己相関体でみると、内側の立体と外側の立体が交差して、双対の関係になっているということが分かる。
　　　

■５■なお正６面体の中に、正４面体が２つ相貫したケプラーの星形８面体が入っていると考えれば、正６面体の５重自己相貫体には全部で10個の正４面体が入っていることになり、また正６面体の５重自己相貫体も、それぞれの正８面体が星形８面体の重畳部分であると捉えば、正４面体が10個重なっている。

■６■５つのプラトン立体、双対立体同士の４つと１つの自己双対の関係。５重対称性の正12面体と正20面体、５重自己相貫体としての正４面体、正６面体、正８面体。正６面体と正８面体の５重自己相貫体の内と外の立体の双対の関係。右手系と左手系で10。人間の10進法的な発想まで、あと半歩のところだ。

(※)正12面体の中心角41度49分と正20面体の２面角138度11分の和は180度。
　　正12面体の２面角116度34分と正20面体の中心角63度26分の和は180度。全てを足すと360度。