Ｃ-004　プラトン立体と双対の５の構造

■１■５つのプラトン立体の間には、<正４面体⇔正４面体>、<正６面体⇔正８面体>、<正12面体⇔正20面体>という３組の双対関係があった。すでに見た通り正４面体は自分自身と双対なので、正逆２つの正４面体を自己相貫させるとケプラーの星型８面体となり、内部に正８面体、外部に正６面体ができた。

■２■この正６面体と正８面体を中接球共有させると正８−６相貫体となり、内部にベクトル平衡体、外部に菱形12面体ができた。同様に正12面体と正20面体を中接球共有させると正20−12相貫体となる。この内部にできる重畳部分は20-12面体となり、外部の32頂点を結ぶと菱形30面体という多面体ができる。

■３■このプラトン立体同士の３種類の双対の相貫体から、新たに内と外にできる３組６個の立体、つまり<正６面体⇔正８面体>、<ベクトル平衡体⇔菱形12面体>、及び<12・20面体⇔菱形30面体>のペア同士もまた、面点変換が可能な双対立体の関係にあり、実際に中接節球共有からさらに双対立体ができる。

■４■すでに<正４面体⇔正４面体>からの<正６面体⇔正８面体>は見た通り<ベクトル平衡体⇔菱形12面体>を生んだ。そしてさらにこの２立体の中接球を共有させることにより、ベクトル平衡体と菱形12面体の相貫体ができ、重畳部分が斜方立方８面体となり、外部頂点をつなぐことで凧形24面体ができた。

■５■また<正12面体⇔正20面体>からの<20-12面体⇔菱形30面体>は、さらに中接球を共有させることによって、重畳部分として斜方20-12面体ができる。そして頂点を繋ぐことによって凧形60面体ができる。この２立体もまた双対立体である。前者はアルキメデス立体であり、後者はカタランの立体である。



■６■相関体として<正４面体⇔正４面体>からできる正６面体の各面は対角線の比率が１：１の正方形、<正６面体⇔正８面体>からできる菱形12面体の各面の対角線比は１：√２の菱形、<正12面体⇔正20面体>からできる菱形30面体の各面は、対角線比が１：φの菱形で、正方形が菱形の特別形であると分かる。