Ｃ-001　プラトン立体と３−４−５

■１■５種のプラトン立体には「各面の正多角形」が、正３角形・正４角形・正５角形になっている<<正４面体・正６面体・正12面体>>の系があり、そしてもう１つ「１つの頂点に集まる線の数」が３本・４本・５本になっている<<正４面体・正８面体・正20面体>>の系がある。なお正４面体は双方にまたがる。

■３■プラトン立体には互いに面点変換できる双対の関係が、<正４面体⇔正４面体><正６面体⇔正８面体><正12面体⇔正20面体>と３種ある。これから自身と双対の正４面体を１つでなく正逆の２種と考えることにより、プラトン立体の種類を全部で５種ではなく、３種＋３種の合計６種とする捉え方もある。

■４■ではプラトン立体の要素には、３−４−５以外の数は有り得ないのだろうか。１つの点に集まる線が１本の線だけ、あるいは２本以内だけでは面と言うものが成り立たない。また同様に正多角形には１角形２角形は存在しない。つまり１と２だけでは多面体構造は成り立たないのである｡数は３から始まる｡



■５■では５より大きい数はどうなのか。各面が正６角形だと１頂点に３面が集まると120度×３＝360度で、どこまでも丸まらず平面になってしまい、内と外を分ける立体にはならない。また各点に６本の線が集まっても、同様に正３角形で埋め尽くされる平面となってしまって、立体にはなり得ないのである。
　　　
■６■３,４,５と言えば、辺長比が３:４:５の「ピュタゴラスの直角３角形」が連想される。この３角形はまた「エジプトの３角形」とも呼ばれており、古代のエジプト人が毎年起こるナイル川の氾濫の後に、間隔が等距離の13個の結び目がついたロープを用いて測地していたという、まことしやかな説がある。

■７■その真偽の程はさて置いても、この直角３角形は実際にギリシア人より古代エジプト人の方が先に知っていたことは確実だそうだ。開いたままなら13の結び目がついたロープを、ピンと張って３:４:５の直角３角形にして測量したというが、13を12に閉じるということも12と13の捉え方のに通じるだろう。

■８■この辺長比が３:４:５のエジプトの直角３角形の３辺の和は12であり、３辺の積は60となる。シュメール・バビロニア及びエジプト起源と考えられている12−60進法の１つの基本的概念の目に見える形であろう。またこの３辺の２乗の和は50、積は3600であり、さらに３乗の和は６の３乗の216に等しい。