Ｂ-017 正６面体の中のベクトル平衡体と正20面体

■１■正６面体及び正８面体に中接するベクトル平衡体を変形させて、正20面体にすることができる。１つの球体に12個の球体が接した最密パッキングの形状から、中心にあって見えない13個目の球体を取り除くとそこに空間ができる。すると残る12個の球体は、それを埋めて安定するように少しずつ移動する。

■２■その変形後の12個の球体の重心を結べば、その形は正12面体の12個の頂点となる。中心の１つの球体は４次元方向から抜き去るという想定だが、マグネットボール等で物理的に１つの球体を取り除いても結果は同じである。ベクトル平衡体では頂点−重心間の距離が１辺と等しかったが、僅かに短くなる。

　　　

■３■正６面体の中でベクトル平衡体を正20面体に変形させる過程を見てみよう。ベクトル平衡体の６つの正方形を２分する対角線を、それぞれ３軸直交の方向(赤・青・緑で示してある)になるように引く。それぞれ４本の線が集まるベクトル平衡体の12の点は、これにより１点に５本の線が集まることになる。

■４■次にこの３軸直交の６本の線を、正６面体の面上で１：１／φの長さに縮小する。(4)結果としてこの６本の両端にある12頂点は、最初の正６面体の線心から面心側に移動する。この対角縮小によってベクトル平衡体の６面ある正方形は、それぞれ１本の対角線によって２分割し、12面の正３角形となる。

■５■なおベクトル平衡体の８面の正３角形は正６面体の４本の立体対角線に直交しているが、この軸を中心として僅かに縮小しながら回転する。変形前後のベクトル平衡体と正20面体を重ねて示した右図では、１面だけを黄色で示してある。この正12面の３角形と重心で作られる３角錐は、正４面体ではない。

■６■なお正６面体に収まるほかの４つのプラトン立体を以下に示した。右端の正20面体は今見てきたが、その左にある正12面体もやはり正６面体の６面と立体の６本の稜線で接している。この面点変換できる正20面体と正12面体の６本の稜線は、正６面体の面央で３軸直交していることにも注意が必要である。