Ｂ-018 正８面体の中のベクトル平衡体と正20面体

■１■単眼視座で正６面体の立体対角線の方向から見ると、正８面体も正６面体も共に正６角形の形に見える。またこの２者が中接球を共有した形の正８−６相貫体も、同じ正６角形に収まって見える。さらに重畳部分のベクトル平衡体を同方向から見ると、30度回転した小さめの正６角形(√2/3倍)に見える。

■２■回転対称軸と視線方向を重ねた時、正８面体の線心をつなぐとベクトル平衡体になる。この時ベクトル平衡体は正８面体の各面の中にその面の1/4の正３角形を共有する。この小さい正３角形の各頂点を大きい正３角形の辺に沿って動かすと、小さい正３角形は面積を増やしつつ軸を中心にして回転する。

■３■各辺に沿って回転させると、面積が最少なのは頂点が１／２すなわち線央にある時で、正８面体の１面の１／４であり、最大になるのは頂点が線の端点まで60度回転した時で１／１となる。この頂点を線を１：φに分割する黄金分割点まで回転さると、この立体はこの正８面体に内接する正20面体となる。

　　　
　　　

■　■それを表したものが上図である。右側がベクトル平衡体、左側が正20面体である。共に最初の回転対称軸方向から眺めている図だが、正８面体の各稜線に沿って正３各形が連動しながら回転した様子が分かるだろう。上段は正８面体面と共有する面を強調してあり、下段は立体の形を強調して示してある。

■４■ベクトル平衡体と正20面体が分かりやすいように、異なる位置から正８面体とその中にある２立体を示したのが下図だ。こうして比較すると、線上を黄金分割点まで移動していくことで、ベクトル平衡体の14面のうち、正６面体由来の６面の正方形が２分割し、同じ大きさの正３角形になることが分かる。

　　　

■５■この線上を連動して移動する小さな正３角形の各頂点を、正８面体の頂点側から見たのが下図である。ベクトル平衡体の頂点位置では線心にあった４点が遠近交互に黄金分割点に移動して、近くに移動した２点間が折れ曲がって、正８面体の面の中で回転した正３角形と同じ大きさ２つの正３角形になる。

　　　

■６■つまり正８面体由来の正３角形の８面と、正６面体由来の正方形が２分割・変形した(６×２＝12)面の合計で正20面体となっているのだ。上図右はこの関係を頂点真上方向から見た図である。また下図は正８面体の１つの面の中で、その頂点が線心から黄金分割点まで移動回転する正３角形を示したものだ。

■７■これらのことから、以下のことが問題となる。

（１）この時できるベクトル平衡体と正20面体の辺長比は？
（２）この正８面体の１面である正３角形とその中の正20面体の正３角形の面積比は？
（３）この正８面体と正20面体の体積比は？（正８面体とベクトル平衡体とは８：５）
（４）このベクトル平衡体の正３角形と20面体の正３角形の回転のずれは何度？