Ｂ-016　多重の自己相貫体たちを見る

　　正６面体の自己２重相姦貫体　　　　　　正６面体の自己３重相姦貫体

■１■正８面体と正６面体を中接球を共有させることによって正８−６相貫関体ができた。また正４面体の２重自己相貫体はケプラーの星形８面体となり、そこから正６面体と正８面体の系の様々な立体を湧出させていった。では同じ大きさの正６面体や正８面体を多重に自己相貫させるのは可能なのだろうか。

■２■正６面体の自己相貫体には、様々なバリエーションが存在しうる。上左図は３重回転対称軸の１つを軸にして、60度の位相のずれで重なっている。実は２重回転対称軸の１つを軸にして､90度の位相のずれで重ねることもできる｡しかし前者は２頂点が重なっているが、後者は全ての頂点が離れたままだ。

　　　
　　　 　　正６面体の自己４重相貫体　　　　　　　正６面体の自己５重相貫体

■３■２重回転対称軸でそれぞれ直交するように３つの正６面体を相貫させると、右図のように正６面体自身の３本の４重回転対称性・４本の３重対称性・６本の２重対称性・９つの鏡面対称性が立ち現れる。結果としてどの２重回転対称軸を元に回転しても４重回転対称となることを確認してできるだろうか。

■４■次に３重回転対称軸に４つの正６面体を相貫させると、下図左のような形になる。面・点・線全ての要素が互いに重なっていない。１つの頂点が残る３つの頂点に囲まれていることも確認のこと。言葉や数値や概念だけではなく、３次元における実際の交差による対称性を、明確に視認することも重要だ。
　　　
　　　　　　　　正８面体　　　　　　　　　　　　　正８面体の自己３重相貫体

■５■上図右は、３重に自己相貫する正８面体である。４角錐の高さがもう少し低ければ、全ての線心が直交軸が直交３軸の端点で重なるのだが、２つの２重回転対称を有する線心を交差させた軸に、３番目の正４面体の４重回転対称を有する頂点を重ねると、その軸方向から見ると十字手裏剣のように見える。

■６■次の下図左は正８面体の４重の自己相貫体であり、図右は同じく５重の自己相貫体である。４重の自己相貫体の方はそれぞれの稜線上に交点が揃い、６つの頂点位置に３つの正８面体の頂点が揃っている。５重自己相貫体の方は、その頂点を結ぶと黄金比を内包するアルキメデス立体の20−21面体となる。

　　　
　　　　　正８面体の自己４重相貫体　　　　　　　　正８面体の自己５重相貫体

■７■５重の自己相貫体は５重対称性を作り、立体の随所に黄金比を生み出す。正６面体の５重自己相貫体は頂点を繋ぐと、そのまま各面に５芒星が入った正12面体になる。正４面体の５重の自己相貫体も頂点を繋ぐとやはり正12面体になる。これには右手系と左手系があり、合わせると10重自己相貫体となる。

　　　

　　　　　正４面体の自己５重相貫体　　　　　　　正５面体の自己10重相貫体

(※)画像はWikipedia英語版 http://www.wikiwand.com/en/Compound_of_five_cubes を参考にしました。