B-016 多重の自己相貫体たちを見る


正6面体の自己2重相姦貫体          正6面体の自己3重相姦貫体

■1■正8面体と正6面体を中接球を共有させることによって正8−6相貫関体ができた。また正4面体の2重自己相貫体はケプラーの星形8面体となり、そこから正6面体と正8面体の系の様々な立体を湧出させていった。では同じ大きさの正6面体や正8面体を多重に自己相貫させるのは可能なのだろうか。

■2■正6面体を自己相貫体には、様々なバリエーションが存在しうる。上左図は3重回転対称軸の1つを軸にして、60度の位相のずれで重なっている。実は2重回転対称軸の1つを軸にして、90度の位相のずれで重寝ることもできる。しかし前者は2頂点が重なっているが、後者は全ての頂点が離れたままだ。
   
     
  正6面体の自己4重相貫体           正6面体の自己5重相貫体

■3■2重回転対称軸でそれぞれ直交するように3つの正6面体を相貫させると、右図のように正6面体自身の3本の4重回転対称性・4本の3重対称性・6本の2重対称性・9つの鏡面対称性が立ち現れる。結果としてどの2重回転対称軸を元に回転しても4重回転対称となることを確認してできるだろうか。

■4■次に3重回転対称軸に4つの正6面体を相貫させると、下図左のような形になる。面・点・線全ての要素が互いに重なっていない。1つの頂点が残る3つの頂点に囲まれていることも確認のこと。言葉や数値や概念だけではなく、3次元における実際の交差による対称性を、明確に視認することも重要だ。
   
         
正8面体                  正8面体の自己3重相貫体

■5■上図右は、3重に自己相貫する正8面体である。4角錐の高さがもう少し低ければ、全ての線心が直交軸が直交3軸の端点で重なるのだが、2つの2重回転対称を有する線心を交差させた軸に、3番目の正4面体の4重回転対称を有する頂点を重ねると、その軸方向から見ると十字手裏剣のように見える。

■6■次の下図左は正8面体の4重の自己相貫体であり、図右は同じく5重の自己相貫体である。4重の自己相貫体の方はそれぞれの稜線上に交点が揃い、6つの頂点位置に3つの正8面体の頂点が揃っている。5重自己相貫体の方は、その頂点を結ぶと黄金比を内包するアルキメデス立体の20−21面体となる。

   
     
  正8面体の自己4重相貫体            正8面体の自己5重相貫体

■7■5重の自己相貫体は5重対称性を作り、立体の随所に黄金比を生み出す。正6面体の5重自己相貫体は頂点を繋ぐと、そのまま各面に5芒星が入った正12面体になる。正4面体の5重の自己相貫体も頂点を繋ぐとやはり正12面体になる。これには右手系と左手系があり、合わせると10重自己相貫体となる。

   

     
  正4面体の自己5重相貫体            正5面体の自己10重相貫体



()画像はWikipedia英語版 http://www.wikiwand.com/en/Compound_of_five_cubes を参考にしました。