Ｂ-015　正６面体以外のサイコロ

■１■普通のサイコロは１〜６の目に限られるのだが、用途によってはその他のサイコロも存在する。普通は多面体ダイスと呼ぶが、対称性が高くないと出る目の確率に差が生じるので、その立体は限られる。多面体で最も対称性が高い正多面体(正６面体もその１つ)は特に、プラトン立体サイコロと呼ばれる。

■２■正４面体、正６面体、正８面体、正12面体、正20面体はそれぞれの面数までの目を等確率で出す。また10進法に適合するように、正20面体の向かい合う２面ずつに10までを割り振った「統計用乱数賽」があるが、他にも５角錐を半分ねじって底面で貼りつけた、正ねじれ双五角錐の10面体サイコロもある。

■３■その他にも正双多面体やねじれ双多角形は、基本的に偶数であればいくらでも出目の数を増やせるし、アルキメデス立体の双対立体であるカタランの立体は、面の形は正多角形ではないが合同であり、２面角も等しいので多面体サイコロになりうる。14、16、24、30、60、120面等のサイコロが実在する。

■４■サイコロだからと言って、必ずしも自然数の目だけを各辺に割り振って使う必要はない。正６面体サイコロにWhen,Where,Who,What,Why,そしてHowの5W1Hを乗せたり、算術記号の＋,−,×,÷,＝,＞をつけたり、８方位や８惑星を正８面体に乗せたり、12カ月や12星座を正12面体にプロットもできるのだ。

　

■５■上図左は、球面上で直交する３つの大円の交点に、１〜６までをサイコロの目のルールに沿って乗せて見たものだ。３つの大円上の数を全て足すと、全て14になる。正６面体でも同じことが言えるのだが、球体だとより良く分かる。パターンがオスサイコロでもメスサイコロでも、この結果は同じである。

■６■球体上にこのような魔方陣のような数の配置をされたものを「魔球陣」という。正６面体のサイコロと等価なだけでなく、正８面体の６つの頂点に１〜６までをプロットしたものとも等しい。このことは正８面体を内側から球体になるまでふくらませば分かるだろう。なおこの形は最小の魔球陣でもある。



■７■上図左は石川県金沢市の街中で見かけた巨大オブジェだが、この形の説明として、正８面体の頂点と線心と面心を結んだ形と表現できる。再びそれを表したものが上図右である。そしてこの点を内部から膨らませて球体にした形が、角度はずれているが上図左である。交点に集まる線数は４,６,８である。

■８■下図左は立体を膨らませた特殊な｢魔球陣｣である。球体を透明にして、各交点に１から26までの番号が入っている。プラトン立体の正８面体、及びそれと双対な立体である正６面体の「面数・点数・線数」の総和は共に26であった。26はもちろんアルファベットの文字数であり､また鉄の原子番号でもある｡

■９■数えれば確認できると思うが、この球体図は９本の大円からなっており､それぞれの大円はみな８個の数を含み､それらの数の和は全て108である。また対和は全て27である。１から26までの総和、つまり26の３角数は351であり、これにその対和軸（正８面体の回転対称軸）数の13を足すと364となる。

■10■ちなみに上図右は右上の特殊な魔球陣の内の手前の９数だけを強調したものだが、ここだけは１桁の３×３の３次魔方陣と同型をしている。つまり平面的なのだが、正８面体の残る５頂点にも３×３の９数が集まっており、そのほかの数同士の関係も存在する。数を立体的に捉えるための１つの例である。