Ｂ-012　正６面体の中の４つの正６角形

■１■前回は正６面体の内部及び外部で３接球を共有する立体のうちで、視線を重ねた立体対角線に垂直な面を見た。この場合は４本ある立体対角線の内の１本を選んで、それに直交する面を見たのだが、実際はこの４本の立体対角線のどれを見ても等価である。また同時に４本の軸を見ていくこともできる。

■２■では先ず中心に位置した正６角形及び同時に見た時のベクトル平衡体の関係をを見てみよう。上図上段は立体対角線方向から見たベクトル平衡体の「面で見た外面図」と「線で見たフレーム構造図」である。下段はこの正６面体及びベクトル平衡体を２等分する４つの正６角形を重ねて示したものである。

■３■右端がこの視線と重なる正６角形であり、あとの３つは残る３軸の立体対角線に垂直な正６角形である。この１面と残る３面及び中心を貫く立体対角線の関係もまた、言うまでもなくリバーシブルな対称性を有している。この関係を角度を少しずらして示したのが下の図で、左下が基本の正６面体である。

　　　

■４■その各辺の中点をつないでできる４つの正６角形はそれぞれ正６面体を２等分している。老婆心から煩雑だが、下段左から２番目がこの４面を重ねて示したものであり、その右図がこれらに重なるベクトル平衡体である。なお右端の図はさらにずらしてベクトル平衡体の形が分かりやすくした図である。

■５■これらの多数の図を１つにまとめ上げる操作自体が容易くはない。しかしそれを１度成してしまえば、後は内部が見えない正６面体の中にも、中接球を共有するベクトル平衡体、それを２等分する４つの正６角形、それに重なる方向で対称的な大小の対正３角形、大小の６芒星が明確に見て取れるはずだ。