Ｂ-011　正６面体の中にスリ・ヤントラを見る

■１■この２つの図は実際にインドに存在するヤントラ(神秘的な幾何学図形)だ。左図の中心にあるのは明らかにケプラーの星型８面体である。またその台座にある45度位相のずれた２つの正方形は、このケプラーの星型８面体から導き出される正６面体と正８面体の連結する双対関係を見て取ることができる。

■２■また右図はインドで最もポピュラーなヤントラであり、通常瞑想の対象として用いられているスリ・ヤントラ(Sri Yantra)である。全て中央で交差して多重に重なる上向きの４つの３角形と下向きの５つの３角形が、シヴァとシャクティまたは男性と女性を表す等と、様々な説明が加えられているものだ。

　　　

■３■ヌーソロジーでは正８面体と正６面体の連続する面点変換の軸方向、つまり正６面体の立体対角線方向を次元連結を貫く「精神の通路」と表現している。この方向から覗いた多重の多面体の面は、スリ・ヤントラを連想させる。
ここでは瞑想対象のヤントラ自身には言及せず、明晰な精神の通路を進もう。

■４■正６面体には３つの接球があった。正６面体の内接球は正８面体の外接球と共有している。また中接球はベクトル平衡体の外接球と共有しており、外接球は正４面体、及びその自己相貫からなるケプラーの星型８面体の外接球と共有している。なお正４面体の中接球は正８面体の外接球と共有関係にある。

　　　

■５■これらの関係を１つの正６面体の中に重ね、それを立体対角線方向から見た概念図が上図中央だ。この視線方向に対して垂直な平面を色分けしてあるが、それでも全体の立体内部が分かりにくい。そこで少しだけ横に回りこんだ位置から見た２種類の概念図を、理解の助けになればと左右に添えておいた。

　　　

■６■では立体対角線と直交する多重の面を見ていこう。まずは手前の頂点に接続する３本の辺の中央を結んでできる逆向きの正３角形だ。これは正６面体の中接球と外接球を共有しているベクトル平衡体の１面だ。重心を介して対称的な位置には、同じくベクトル平衡体の１面である上向きの正３角形がある。

　　　

■７■次に現れるのは、３面の対角線からできる下向きの正３角形だ。これは正６角形と外接球を共有している正４面体の１面であり、最初の正３角形に比べて辺長は２倍、面積は４倍である。なおこれと相貫する逆向きの正４面体の１面は、この正６面体の重心に対して対称的な位置に、逆向きの正３角形として現れている。この２つの正４面体の相貫体がケプラーの星型８面体である。

　　　

■８■上図は２つの正４面体が相貫してケプラーの星型８面体となることを斜め横から見たものだ。立体対角線方向から見るとこの２つの垂直面は６芒星の形を成す。またこの正３角形に内接する面積１／４の正３角形も６芒星に見える。これは星型８面体の重畳部分で、内接している正８面体の２面でもある。

　　　

■９■これらは最初に見たベクトル平衡体の正逆の２面とも重なっている。それぞれ正６面体の重心に対して立体対角線上の対称的な所に位置し、逆・正・逆・正と２重の対の小さな６芒星として見えている。そして重心の位置にはこの立体対角線に垂直な平面で、正６面体を２分割する断面の正６角形がある。

　　　

■10■上図はこれまで述べたことを逆の順番で重ねてみたものだ。立体対角線には、〈正６面体端点-ベクトル平衡体の１面-正４面体Ａの１面(正８面体の１面を内包)-正６面体を２分割する正６角形-正４面体Ｂの１面(正８面体の１面を内包)-ベクトル平衡体の１面-正６面体端点〉という内部構造があるのだ。

　　　

■11■立体対角線を逆側から見ても、また他の３本の立体対角線についても同様なことが言える。面積比は〈０-１-４(重畳する１)-６-(重畳する１)４-１-０〉であり、辺長比は〈０-１-２（重畳する１）-１-（重畳する１）２-１-０〉である。さらにこの間に切頭６面体や切頭８面体が挟まることになるのだ。