Ｂ-010　正６面体の中に見る正８−６相貫体の系

■１■正４面体は面点変換すると逆向きの正４面体となる。これはミクロ・マクロ双方向にどこまでも繰り返すのだが、この面点変換の流れの中から正逆２つの正４面体を取り出して相貫体にすると、ケプラーの星型８面体になる。この内の重畳部分が正８面体となり、外部頂点をつないだら正６面体が出来た。

■２■上図ではこのケプラーの星型８面体を中心にして、左右にこの２つの正４面体を、重畳部分である正８面体を下に、各頂点を結んでできる正６面体を上に配してある。正８面体と正６面体は双対立体である。この場合の体積比は正８面体：正４面体：ケプラーの星型８面体：正６面体＝１：２：３：６だ。

　　　

■３■この正６面体と正８面体の中接球を共有させると、正８−６相貫体となる。この２立体の重畳部分がベクトル平衡体となり、外部頂点をつないで出来る形が菱形12面体である。相貫体をなす２つの立体の辺の数は同じであり、全て線心で直交している。２立体の辺長比は１：√２、体積比は３：４である。

■４■この正８−６相貫体の体積比は９、ベクトル平衡体は５、菱形12面体は12となっている。つまり正８面体、正４面体、ケプラーの星型８面体、ベクトル平衡体、正６面体、正８面体、正８−６相貫体、菱形12面体の体積比は１：２：３：５：６：８：９：12と、整数ですっきり美しく見て取れるのである。

　　　

■５■ここで正８−６相貫体の体積からベクトル平衡体の体積を引くと(９−５＝)４となり、菱形12面体の体積からベクトル平衡体の体積を引くと(12−５＝)７で、１から９までの数が出揃う。ベクトル平衡体の１辺は√２／２であり、正８面体の１辺は√２である。また菱形12面体の１辺は√３となっている。

■６■前節では正６面体の立体対角線方向からその内部に、ベクトル平衡体、正４面体のペア、正６面体を２分割する正６角形を見たが、同じ視線からこの正６面体の外部にも突出している正８−６相貫体及び菱形12面体を、同じ両眼視差のない単眼視線で、垂直面に平面投影して見るという方法で見てみよう。

　　　

■７■上の図左は正８−６相貫体を分かりやすい角度から見た図である。そして右図が正６面体の立体対角線方向から見た図だ。この方向からだと正６面体と正８面体の頂点が表裏で重なり、正６角形の中に納まってしまっている。内部に背後の補助線を多数描いたが、それでも凹凸をイメージするのは難しい。

　　　

■８■そして上図左は分かりやすい角度から見た図だ。背面の補助線を見れば12面を数え上げることもできる。しかし立体対角線の方向から見た右図は、そもそも体積が正６角形の中にぴったり納まり、背後の様々な線や面がそこに重なり、上の正８−６相貫体と照らし合わせてみても、視覚的に分別できない。

■９■菱形12面体は60度位相のずれた表裏３面ずつが見えるが、残る６面は正６角形の６辺に重なっている。また線数は数えられる12本に対の12本が重なっている。正６面体内部の諸立体、外部の正８面体、正８−６相貫体、菱形12面体も、正６角形の内部にぴったり納まり、単眼では立体感を喪失してしまう。

■10■これらのことは、普段の私たちが世界を見ている時の奥行き感覚と、実際は自分の視線というものは自分にとってほぼ眼前の点となっていることとの差異を想起させられる。改めてこの方向から、今まで全く月並みで当たり前と捉えていた直交３軸で把握しているはずの眼前の空間の意味が変わってくる。