Ｂ-008　ルービックキューブを見直してみる

■１■３×３×３の正６面体を見て、ルービックキューブを連想する人は少なくないだろう。現在ではそのパズル的側面が前面に出て、いかに速く解くかが主流になっているが、この立体パズルは建築学者エルノー・ルービックが３次元幾何学を説明するために考案したもので、数学的には群論とも関連が深い。

■２■ここではその解法でなく、このキューブそのものの構造を見てみよう。正６面体は点４・線12・面６・胞１の合計27の要素からなっている。ルービックキューブでは点の位置にあるものをコーナーキューブ、線の中心位置にあるものをエッジキューブ、面の中心位置にあるものをセンターキューブと呼ぶ。

■３■残る１つは重心位置にあるが、それぞれの点・線・面・胞の０・１・２・３次元とは逆に、小キューブの外から見える面数は３・２・１・０となっている。この小キューブの見える面の数は(９×６＝)54面で、27の倍になっている。またキューブは見えている全ての面がその位置を移動できるのではない。

　 　

■４■構造上センターキューブ及び重心の位置にある小キューブは、回転しても位置は変わらない。その合計７個のユニットだけを抽出すると、上図中央のように直交３軸の立体十字架のような形状になる。そしてこの部分を取り外した稼動部分のみを示すと上図右のような形状となり、全部で20ピースとなる。

■５■このように直交３軸方向の立体十字架的な中心の７ユニットがない20ピースの小キューブからなる立体パズルも、ボイドキューブという名前ですでに商品化されている。この27−７＝20ピースの小キューブという操作を繰り返すと、メンガー・スポンジと呼ばれる自己相似なフラクタル立体の一種となる。

■６■したがって最初の立体十字架を抜いた形状は、メンガースポンジのステップ１と同じ形である。このメンガースポンジの各ステップごとのフラクタルな正６面体の個数を見ていくと、ステッ０,１,２,３…では１個、20個、400個、8000個…と増えていく。つまり単純な20進法の桁数として表れてくるのだ。

　　　

■７■この再帰的な穴あけ操作を無限に繰り返すと、理論的にはこの立体の体積が最終的には０になってしまう。このメンガースポンジのフラクタル次元は２.７次元（より正確には log20／log３＝2.726833…次元）である。この構造は、理論的には光の貯蔵も可能なフォトニックフラクタルとも呼ばれている。

■８■光造形システム(※1)で成型した27mm角で約９ｇのメンガースポンジ(ステージ３)を作り、８ギガHzの電磁波を照射すると、反射も透過もせずに10^-7秒間中心部の空洞に残っていた。穴を開けないと反射も透過もする。大きさや材質を変える事で、電磁波の周波数も変えられるが理由は未解明のままである。

(※１)酸化チタン系の微粒子を混ぜたエポキシ樹脂の立方体。信州大理学部の武田三男教授と本田勝也教授，大阪大接合科学研究所の宮本欽生教授らの発表による。