Ｂ-005　双対・相貫の連続構造を見る

■１■ベクトル平衡体と菱形12面体は面点変換できる。つまり双対立体である。菱形12面体には内接球と中接球が存在するが、外接球はない。またベクトル平衡体には中接球と外接球は存在するが、内接球は存在しない。したがってこの２つの立体は中接球を共有させることにより、相貫体を作ることができる。

■２■下図中間に見るように、その相貫体は余り美しくないように見える。このベクトル平衡体と菱形12面体の相貫体の４角錐と３角錐を全て取り去った重畳部分の形は、アルキメデス立体の斜方立方８面体(下図左)となる。またさらに外部頂点を全て繋ぐと、カタランの立体である凧形24面体(下図右)となる。

■３■アルキメデス立体とカタランの立体とは双対関係である。すなわちこの斜方立方８面体と凧形24面体もまた双対立体だということだ。双対の相貫の双対の相貫の双対の相貫の双対だ。斜方立方８面体は、面が正３角形８枚＋正方形18枚の26、線は48、点は24であり、凧形24面体は面24、線48、点26である。

　　　

■４■双対立体は中接球を共有させることによって相貫体が作れた。そしてその相貫体の重畳部分にできる立体、及び外側の頂点を結ぶことによって新しい２つの立体ができた。その新しい２つの立体も双対立体なので、中接球を共有によりさらに相貫体を作ることができる。この流れを最初から連ねてみよう。

■５■まず最初は自分自身と双対の関係にある正４面体同士の相貫体で、ケプラーの星形８面体となった。そこから内側に正８面体、外側に正６面体ができた。その２立体から正８−６相貫体ができ、内にベクトル平衡体、外に菱形12面体ができた。さらにその相貫体から斜方立方８面体と凧形24面体ができた。

　

(※)３方４面体(triakisretrahedron)は切頭４面体の双対立体である。