Ｂ-004　正６面体−正８面体の系のさらに先

■１■プラトン立体やアルキメデス立体などは、その立体が持っている面･点･線や角度や比率、また２面角や中心角や回転対称軸等の固有の特性は変わらない。しかし本来固定した大きさや体積というものは持ち合わせてない。１辺が１ナノメートルでも、１天文単位に設定しても、正４面体は正４面体である。

■２■それでも１つの立体の辺長や接球半径を固定することで、立体同士の間の整然とした空間占有比(体積比)を見て取ることができる。それではここで、私たちがこの空間で最も馴染み深い３軸直交の正６面体を、体積６の基本フレームとして定めて、前節で見た立体体積の整数比の関係を見直してみよう。

■３■基本の正６面体に内接する正８面体の体積比が基本の１である。その正８面体の外接球を、自らの中接球と共有する正４面体の体積が２であった。そしてこの正８面体を中心で共有するケプラーの星形８面体の体積比は３。この最初のフェイズで１,２,３が出そろう。ここまでは正４−正４の相貫体系だ。

■４■正８面体、正４面体、ケプラーの星形８面体、そしてそれを入れ子とする基本の正６面体を重ねてみれば、相互の関係が分かり易い。次はこの基本の正６面体と中接球を共有させた正８面体とで、正８−６相貫体を作るフェイズだ。重畳部分はベクトル平衡体で、外部の頂点を繋ぐと菱形12面体になった。

■５■このベクトル平衡体の体積比は５だ。正６面体と正８面体、及び正８−６相貫体の頂点を結んでできる菱形12面体の体積比は、その名前の面数の通り６：８：12(＝３：４：６)である｡相貫体の重畳部分であるベクトル平衡体は､正６面体由来の正方形６面と、正８面体由来の正３角形８枚の14面体である。

■６■正６面体からベクトル平衡体を切り出すと、８つの小さな直角３角錐が残るが､それらを全て引っ繰り返して直角２等辺３角形部分同士で繋ぐと､体積比１の正８面体ができる。体積比４の立体は正４面体の重心と各頂点でできる４つの３角錐をひっくり返せばできるが、３方４面体(※)とは僅かに異なる。

■７■世界は12で１つ閉じている。この正６面体を体積６としたこの系も、ちょうどその２倍の体積12の菱形12面体のところで１つの臨界を迎えている。この自然数で見て取る体積比の関係には、４と７に相当するそれらしい立体が見当たらない。これは音楽で言うところの「ヨナ抜き音階」を連想させられる。

■８■ヨナ抜き音階とは日本固有の五音音階のことだ。この長音階を西洋音楽当てはめると主音Ｃから４つ目のＦと、７つ目のＢがない音階のことである。音楽の音階構造は対数的調和だし、単なる駄洒落だが、直接の関係ではないが私たちの数と形に関する意識の仕方でどこかで響き合っているかもしれない。

　　　

(※)３方４面体(triakisretrahedron)は切頭４面体の双対立体である。