B-004 正6面体−正8面体の系のさらに先

     

■1■プラトン立体やアルキメデス立体などは、その立体が持っている面・点・線や角度や比率、また2面角や中心角や回転対称軸等の固有の特性は変わらない。しかし本来固定した大きさや体積というものは持ち合わせてない。1辺が1ナノメートルでも1天文単位に設定しても、正4面体は正4面体である。

■2■それでも1つの立体の辺長や接球半径を固定することで、立体同士の間の整然とした空間占有比(体積比)を見て取ることができる。それではここで、私たちがこの空間で最も馴染み深い3軸直交の正6面体を、体積6の基本フレームとして定めて、前節で見た立体体積の整数比の関係を見直してみよう。

   

■3■基本の正6面体に内接する正8面体の体積比が基本の1である。その正8面体の外接球を、自らの中接球と共有する正4面体の体積が2であった。そしてこの正8面体を中心で共有するケプラーの星形8面体の体積比は3。この最初のフェイズで1,2,3が出そろう。ここまでは正4−正4の相貫体系だ。

■4■正8面体、正4面体、ケプラーの星形8面体、そしてそれを入れ子とする基本の正6面体を重ねてみれば、相互の関係が分かり易い。次はこの基本の正6面体と中接球を共有させた正8面体とで、正8−6相貫体を作るのフェイズだ。重畳部分がベクトル平衡体、外部の頂点を繋ぐと菱形12面体になった。

   

■5■このベクトル平衡体の体積比は5だ。また菱形12面体及び中接球を共有させた正6面体と正8面体の体積比は、その名前の面数の通り12:6:8:12すなわち6:3:4である。相貫体の重畳部分であるベクトル平衡体は、正6面体由来の正方形6面と正8面体由来の正3角形8枚からなる14面体である。

■6■正6面体からベクトル平衡体を切り出すと、8つの小さな直角3角錐が残るが、それらを全て引っ繰り返して直角2等辺3角形部分同士で繋ぐと、体積比1の正8面体ができる。体積比4の立体は正4面体の重心と各頂点でできる4つの3角錐をひっくり返せばできるが、3方4面体(
)とは僅かに異なる。

   

■7■世界は12で1つ閉じている。この正6面体を体積6としたこの系も、ちょうどその2倍の体積12の菱形12面体のところで1つの臨界を迎えている。この自然数で見て取る体積比の関係には、4と7に相当するそれらしい立体が見当たらない。これは音楽で言うところの「ヨナ抜き音階」を連想させられる。

■8■ヨナ抜き音階とは日本固有の五音音階のことだ。この長音階を西洋音楽当てはめると主音Cから4つ目のFと、7つ目のBがない音階のことである。音楽の音階構造は対数的調和だし、単なる駄洒落だが、直接の関係ではないが私たちの数と形に関する意識の仕方でどこかで響き合っているかもしれない。

   



()3方4面体(triakisretrahedron)は切頭4面体の双対立体である。