Ｂ-003　正６面体と正８面体の諸要素

■１■我々の内耳にある三半規管は３つの半規管が直交しており、そのリンパに満ちた内圧によって平衡感覚を取っている。また１つの眼球にも３つの回転の双方向に対応する６本の外眼筋(両眼では12本)があり、それで自らの視界を確保している。私たちの身体構造は空間を３次元的に捉えるようできている。

■２■正６面体の各辺同士の関係は、私たちの空間認識の元としている前後・左右・上下の３方向を直交３軸としているのと同じ構造を持つ。また正８面体もその６頂点を結ぶ内部の対角線が、やはり直交３軸をなしている。この双対の２立体は、共にこの３次元空間の中で私たちに最も馴染み深い立体である。

■３■正６面体は５種類ある正多面体(プラトン立体)の１種で、点８、線12、正方形の面６からなり、立方体とも呼ぶ。中心角70.5度、２面角は直角。正８面体とは双対の関係にある。向かい合う面同士は平行であり、隣り合う面とは互いに垂直に交わる。また回転対称軸は全部で13本、鏡像対称面は９面ある。

　 　

■４■一方正６面体と面点変換が可能な正８面体は、点６、線12、正３角形の面８からなり、中心角は90度、２面角は109.5度である。向かい合う面同士は平行だが逆向きで６芒星の形になる。正３角柱の上下２面を６芒星になるように、60度回転させて捻ると反３角柱になるが、この形状は正８面体は等しい。

■５■正６面体の８点の間には12本の稜線、 12本の対角線、４本の立体対角線、合わせて28本の関係線がある。またこの３種の力線の長さの比は１：√２：√３である。正８面体の６点の間には12本の稜線、４本の立体対角線、合わせて15本の関係線がある。この２種の力線の長さの比は１：√２／２である。

■６■正８面体を外側に面点変換すると体積６倍の正６面体になり、正６面体を外側に面点変換すると体積9/2倍の正８面体になり、最初の正８面体の27倍となる。正６面体を外側に面点変換すると体積9/2倍の正８面体になり、さらに外側に面点変換すると体積６倍（すなわち最初の27倍）の正８面体となる。

　

■７■正６面体と正８面体を中接球を共有させて相貫関体にすると、重畳部分はベクトル平衡体となり、外部頂点を結ぶと菱形12面体になる。この時、ベクトル平衡体・正６面体・正８面体・正８−６相貫関体・菱形12面体の体積比は５：６：８：９：12となる。基本の１は正６面体に内接する正８面体である。

■８■整数比となる体積比を見て行くと、この基本の体積比１の正８面体を中接球に内包する正４面体が２となる。この正４面体は正６面体と外接球を共有している。またこの正４面体を２つ自己相貫体とすると、体積比３のケプラーの星形８面体となる。これで<１：２：３：５：６：８：９：12>が出揃った。