B-002 正8面体と正6面体の回転対称軸

 

■1■正6面体と正8面体の回転対称軸を確認しよう。正6面体のそれぞれ対の位置にある面の中心を結ぶと、90度で直交する3本の線ができる。この線を軸にして正6面体を回転させると、それぞれ360度回転する間に4回、つまり90度ごとに元の形に戻ることがわかる。これが4重回転対称軸である。

■2■正6面体と双対立体である正8面体のそれぞれ対の位置にある6つの頂点の対を結ぶと、90度で直交する3本の線ができる。この線を軸にして正8面体を回転させると、こちらもそれぞれ1回転する間に4回、すなわち90度ごとに元の形に戻る。これも面点変換で共有する4重回転対称軸である。

■3■では今度は正6面体の8つの頂点の4対をそれぞれ結んだらどうなるだろう。これは正6面体の立体対角線だが、この軸を中心にして正6面体を回転させると、今度は120度ごとに元の形に戻ることが分かる。これは正8面体の8つの面点についても同様だ。この4本の軸を3重回転対称軸という。
 
■4■正6面体と正8面体の回転対称軸を面と点の対の上に見てきたが、もう1つの要素である稜線の対の位置にある線心を結んでも、回転対称軸はできる。こちらの方は180度ごとに元の形に戻るので、2重回転対称軸という。正6面体と正8面体は共に線が12本なので、どちらも共に6本ずつ有する。

   
   

■5■以上のことから、正6面体には<点−点>を結んだ回転対称軸が4本、<面心−面心>を結んだ回転対称軸が3本、そして<線心−線心>を結んだ回転対称軸が6本、また正8面体には<点−点>が3本、<面心−面心>が4本、そして<線心−線心>が6本で、共に全部で13本の回転対称軸があることが分かる。

■6■最初の図では正6面体と正8面体を固定し、その上に回転対称軸を示してあるが、正6面体と正8面の回転対称軸を視線と合わせて中央の点として、それを中心として視線に垂直に回転する視座から示したのが、2番目の図である。平面図形として射影した形を見れば、回転対称の回数が分かる。

   

■7■プラトン立体の対称性を語るには、回転対称性だけではなく面を境界にした鏡像対称性についても見ていく必要がある。正6面体の面に平行もしくは直交した切り口で2等分する形は下図の通りである。この3つの対称性面を1つにして表すと、図右のような直交3軸の0面が直交する形となる。

■8■同様に正6面体と双対立体である正8面体の鏡像対称性の界面を見てみよう。正8面体の鏡像対称性の界面が、やはり直交する3つの面となっていることは驚くには値しないだろう。正8面体の鏡像対称面の切り口を見ると、正8面体の中で直交する3つの正方形であることが見て取れるだろう。

   

■9■正6面体を2つの等しい領域に分割する鏡像対称面は、上述した3面のほかにも、まだ下図左縦2列のような6面が残っている。同様に正8面体を2つに分割する鏡像対称面も、下図右縦2列で示した6面が残っている。つまり正6面体と正8面体は共に9面の鏡像対称面を持っているのである。

■10■鏡像対称面の最初に見た3つの面は、4重回転対称性の軸に直交しており、新たに見た残る6面は2重回転対称性の軸に直交している。全ての回転対称軸と鏡像対称面は例外なく1点を通っている。つまりこれらの立体の中心にある重心である。正6面体と正8面体はまさに表裏一体なのである。。