Ｂ-00２　正８面体と正６面体の回転対称軸

■１■正６面体と正８面体の回転対称軸を確認しよう。正６面体のそれぞれ対の位置にある面の中心を結ぶと、90度で直交する３本の線ができる。この線を軸にして正６面体を回転させると､それぞれ360度回転する間に４回､つまり90度ごとに元の形に戻ることがわかる。これが４重回転対称軸である。

■２■正６面体と双対立体である正８面体のそれぞれ対の位置にある６つの頂点の対を結ぶと、90度で直交する３本の線ができる。この線を軸にして正８面体を回転させると、こちらもそれぞれ１回転する間に４回、すなわち90度ごとに元の形に戻る。これも面点変換で共有する４重回転対称軸である。

■３■では今度は正６面体の８つの頂点の４対をそれぞれ結んだらどうなるだろう。これは正６面体の立体対角線だが、この軸を中心にして正６面体を回転させると、今度は120度ごとに元の形に戻ることが分かる。これは正８面体の８つの面点についても同様だ｡この４本の軸を３重回転対称軸という｡
　
■４■正６面体と正８面体の回転対称軸を面と点の対の上に見てきたが、もう１つの要素である稜線の対の位置にある線心を結んでも、回転対称軸はできる。こちらの方は180度ごとに元の形に戻るので､２重回転対称軸という。正６面体と正８面体は共に線が12本なので、どちらも共に６本ずつ有する。

　　　
　　　

■５■以上のことから､正６面体には<点−点>を結んだ回転対称軸が４本､<面心−面心>を結んだ回転対称軸が３本､そして<線心−線心>を結んだ回転対称軸が６本、また正８面体には<点−点>が３本、<面心−面心>が４本、そして<線心−線心>が６本で､共に全部で13本の回転対称軸があることが分かる｡

■６■最初の図では正６面体と正８面体を固定し、その上に回転対称軸を示してあるが、正６面体と正８面の回転対称軸を視線と合わせて中央の点として、それを中心として視線に垂直に回転する視座から示したのが、２番目の図である。平面図形として射影した形を見れば、回転対称の回数が分かる。

■７■プラトン立体の対称性を語るには、回転対称性だけではなく面を境界にした鏡像対称性についても見ていく必要がある。正６面体の面に平行もしくは直交した切り口で２等分する形は上図の通りである。この３つの対称性面を１つにして表すと、図右のような直交３軸の３面が直交する形となる。

■８■同様に正６面体と双対立体である正８面体の鏡像対称性の界面を見てみよう。正８面体の鏡像対称性の界面が、やはり直交する３つの面となっていることは驚くには値しないだろう。正８面体の鏡像対称面の切り口を見ると、正８面体の中で直交する３つの正方形であることが見て取れるだろう。

　　　

■９■正６面体を２つの等しい領域に分割する鏡像対称面は、上述した３面のほかにも、まだ下図左縦２列のような６面が残っている。同様に正８面体を２つに分割する鏡像対称面も、上図右縦２列で示した６面が残っている。つまり正６面体と正８面体は共に９面の鏡像対称面を持っているのである。

■10■鏡像対称面の最初に見た３つの面は、４重回転対称性の軸に直交しており、新たに見た残る６面は２重回転対称性の軸に直交している。全ての回転対称軸と鏡像対称面は例外なく１点を通っている。つまりこれらの立体の中心にある重心である。正６面体と正８面体はまさに表裏一体なのである。