Ａ-018　正４面体の５重相貫体の重畳部分

■１■３次元の正４面体は４次元の正５胞体の３次元への投影の１つの形としても捉えられる。正４面体の４頂点に対して４次元目の要素である５番目の頂点を、正４面体の４頂点の１つと重ねた時にそれは生起する。ちょうど正４面体のダ・ヴィンチの星の４面を裏返しにして５重の正４面体にした形である。

■２■４面体の２重相貫体はこの５重の正４面体を黄金比に沿ってずらした結果できる形であるとも捉えられる。正４面体の２重相貫体(ケプラーの星形８面体)は頂点を結ぶと正６面体となり、重畳部分は正８面体だった。同様に正４面体の５重相貫体は頂点を結ぶと正12面体となり、重畳部分は正20面体となる。

■３■この５重相貫体は正４面体の頂点４つが５個分で20個あり、それが正12面体の12頂点になることは外部からも見て取れる。しかし内部で見えない重畳部分というのは、本当に正20面体となっているのだろうか。確かに正４面体の４面が５個で20面なので、そのまま正20面体の各面に対応していそうである。

　　　
■４■しかし普通はこの５重相貫体のうちの２つだけの重畳部分ですらイメージできない。そこで最初の正４面体に１つずつ正４面体を重ねていきながら、最終的に正４面体の５重相貫体になるまでの各フェイズにおける重畳部分を視覚的にトレースしてみた。複雑だが色で示したので各面対応が分かるだろう。

■５■３次元空間においては５重の正４面体は１つの正４面体にしか見えない。固定した重心と１頂点からできる１本の軸を５方向に等距離にずらすことによっても、５重であることが分かるのはもちろんだが、重心以外の他の要素もみな連動して動くので、結果として正４面体の５重相貫体の形になるだろう。

■６■なお５方向に動かすというのは正12面体の面心から、軸に垂直な正５角形の５頂点にずらすと言うことだ(下段左)。これに対して１頂点と重心が作る軸を、この外接球表面に沿って36度ずつずらしながら、距離比が１：Φ：Φ：１の位置に動かしても、やはり他の要素が連動して同じ結果となる(下段中)。

　　　

■７■正５胞体の３次元における１投影図から別の投影図への移行ということでもあるが、これら煩雑な言葉による表現と説明がなくても、本来見えない重畳部分の切り出しの図を見るだけで、言わんとしていることのあらかたはまさに「見て取れる」はずだ。この場合の視座位置は外接球的と言えるだろうか。

■８■この４次元の正５胞体の３次元への５重の正４面体としての投影は、世界を二元対立で捉えるのではなく、それらに垂直方向の双方有と双方無の対を加えた４値で捉える、４値論理の『ペンタープシステム』という世界観を介することにより、４次元の３次元投影全体を把握する視座獲得に通じるだろう。

（※）画像に関しては以下のページを参考にさせて頂きました。
www.mi.sanu.ac.yu/vismath/zefiro/_polyhedra_colouring_2007_08_10.html
www.mi.sanu.ac.yu/vismath/zefirocorrection/__Zefiro-Ardigo'_icosahedral_polyhedra_updating.htm
www.georgehart.com/virtual-polyhedra/conway_notation.html
www.georgehart.com/virtual-polyhedra/compounds-info.html