Ａ-017　辺長比３の正４面体の内部構造

■１■正４面体と切頭４面体を見ていて、その内部で正４面体と正８面体がどのように組み合わさっているのか疑問に思った。図に描いてみたがよく分からない。そこで１辺が３倍の綿棒多面体を作ってみた。１辺３の正４面体の４頂点から１辺１の正４面体を４つ取り去れば切頭４面体になることは分かった。

■２■しかしその切頭４面体の内部構造は口だけでは説明しがたい。１辺１の正４面体と１辺１の正８面体の体積比は１：４である。２面角がそれぞれ70.5度と109.5度なので、合わせると平角180度になることと、どちらの面も１辺１の正３角形であることから、この２立体だけで空間を満たせることが分かる。

■３■正４面体と正８面体が体積比２：１で中接球と外接球を共有していることは、１辺２の正４面体の線心をつないでできる立体が１辺１の正８面体であることからも分かる。そして１辺３の正４面体だ。この立体を内に面点変換すると、１辺１の逆向きの正４面体、つまり体積比が１／27の正４面体となる。

　　　

■４■またこの１辺３の正４面体の４頂点部にある１辺１の正４面体を切った形が、体積比が23／27の切頭４面体である。さてこの１辺３の正４面体のさらなる内部では、１辺１の正４面体と正８面体がどのような形で組み合わさっているのであろう。図に描きながら色々考えてみたが、２次元では無理がある。

■５■１辺３の正４面体を綿棒多面体で作って、正４面体と正８面体の配置の仕方が理解できた。しかしその内部構造を言葉だけで説明するのも、言葉だけで理解するのも至難の技である。そこでGIFアニメを作ったのだが容量が大き過ぎた。そこでこの副産物の画像を用いてこの内部構造を示すことにしよう。

　　　

■６■まず図�@は辺長３の正４面体と、それを内側に面点変換した１辺１の逆向きの正４面体だ。図�Bは図�Aの２つの正８面体の間に逆向きの正４面体の２面がピッタリ接していることを示している。そしてそれに直交する形の２つの正８面体が逆側から正４面体を挟み込んでいることを示したのが図�Dである。

■７■図�Cではそれを分かりやすいように半透明で示してある。図�Eの切頭４面体の緑色の部分が正８面体、黄色の部分が正４面体になっている。図�Eに辺長１の正４面体を４つ加えれば辺長３の正４面体になる。つまりこの辺長３の正４面体の中には、辺長１の正８面体が全部で４つ入っているということだ。

■８■この正８個面体以外のスペースは、図�@で示した逆向きの正４面体と、図�H(�F＋�Gに等しい)で示した10個の辺長１の正４面体で埋め尽くされているのである。辺長３の正４面体の体積を１とすれば、この逆向きの１つも含めた11個の正４面体の体積はみな１／27であり、正８面体の体積は４／27である。