Ａ-015　正４面体は虚実の２重構造？

■１■正６面体を外側に面点変換すると、体積比9/2の正８面体になる。それをさらに面点変換すると、体積比27の正６面体になる。正８面体を外側に面点変換すると、体積比６の正６面体になる。それをさらに面点変換すると、体積比27の正８面体になる。これらは２度面点変換をして体積27倍の自身になる。

■２■プラトン立体においては、正12面体と正20面体も同様である。しかし正４面体を外側に面点変換すると、１度で体積比27の正４面体になる。正４面体は自分自身と双対関係なのである。しかし１度の面点変換では逆向きの正４面体になるので、正４面体にも正と逆の２種があると捉えることもできるのだ。

　　　正６面体→正８面体と面点変換すると体積は9/2倍になる。
　　　正８面体→正８面体と面点変換すると体積は６ 倍になる。
　　　正４面体→正４面体と面点変換すると体積は27 倍になる。

　　　正６面体→正８面体→正６面体と面点変換すると体積は27 倍になる。
　　　正８面体→正６面体→正８面体と面点変換すると体積は27 倍になる。
　　　正４面体→正４面体→正４面体と面点変換すると体積は729倍になる。

■３■このことを５オクターブの音階表で、同じ比の音高に対応させてみよう。第１オクターブ基音のＣの振動数に対して純正律で9/2倍の音高は、第３オクターブＤに対応する。また基音のＣに対して６倍の音高は、第３オクターブＧに対応する。平均律ではそれぞれ整数でない4.490倍と5.993倍が対応する。

　　　

■４■また第３オクターブＤの振動数に対して６倍の音高は、第５オクターブＡで、基音Ｃからは27倍となる。さらに第３オクターブＧの振動数に対して9/2倍の音高もまた第５オクターブＡで、基音Ｃからはやはり27倍となる。基音から9/2倍×６倍も、６倍×9/2倍も、共に第５オクターブＡの27倍になる。

　　　基音Ｃを9／2倍すると、16度上の第３オクターブＤとなる。
　　　基音Ｃを６倍すると、 19度上の第３オクターブＧとなる。
　　　基音Ｃを27倍すると、 34度上の第５オクターブＡとなる。

　　　基音Ｃを9／2倍し、さらに６倍すると、34度上の第５オクターブＡとなる。
　　　基音Ｃを６倍し、さらに9／2倍すると、34度上の第５オクターブＡとなる。

　　　平均律だと１→4.490　純正律だと１→9/2 　ピュタゴラス音階１→9/2
　　　平均律だと１→5.993　純正律だと１→６　　 ピュタゴラス音階１→６
　　　平均律だと１→26.908 純正律だと１→40／３ ピュタゴラス音階１→27

■５■この9/2倍と６倍の数値は純正律における比律だが、平均律では２の12乗根を26回掛けた4.490倍と、31回掛けた5.993倍が対応する。なお純正律(ツァルリーノ音階)だと同じオクターブ内でのＣとＡの振動数の比は１：5/3だが、ピュタゴラス音階だと27/16で、第５オクターブＡはぴったり27倍になる。

　　　
■６■正６面体と正８面体は１度の面点変換で互いに入れ替わり、２度目の面点変換で体積27倍の元の立体になる。正４面体は１回の面点変換で体積27倍だが逆向きの正４面体になる。正４面体は２回の面点変換で元の向きだが体積は729倍になる。正４面体は正逆２種類の対で１つと見ることもができるのだ。

■７■このことからもプラトン立体は５種類しかないが、双対性を考える場合は正４面体を２つとして、全部で６つと数える視座も必要なのだろう。これはまたどこかで５芒星と６芒星の問題や10進法と12進法や黄金比φと円周率πなどとも深く関係としてくる。正４面体は虚実の２重構造とも捉えられるのだ。