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A-015 正4面体は虚実の2重構造?
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■1■正6面体を外側に面点変換すると、体積比9/2の正8面体になる。それをさらに面点変換すると、体積比27の正6面体になる。正8面体を外側に面点変換すると、体積比6の正6面体になる。それをさらに面点変換すると、体積比27の正8面体になる。これらは2度面点変換をして体積27倍の自身になる。
■2■プラトン立体においては、正12面体と正20面体も同様である。しかし正4面体を外側に面点変換すると、1度で体積比27の正4面体になる。正4面体は自分自身と双対関係なのである。しかし1度の面点変換では逆向きの正4面体になるので、正4面体にも正と逆の2種があると捉えることもできるのだ。
正6面体→正8面体と面点変換すると体積は9/2倍になる。
正8面体→正8面体と面点変換すると体積は6
倍になる。
正4面体→正4面体と面点変換すると体積は27
倍になる。
正6面体→正8面体→正6面体と面点変換すると体積は27
倍になる。
正8面体→正6面体→正8面体と面点変換すると体積は27
倍になる。
正4面体→正4面体→正4面体と面点変換すると体積は729倍になる。
■3■このことを5オクターブの音階表で、同じ比の音高に対応させてみよう。第1オクターブ基音のCの振動数に対して純正律で9/2倍の音高は、第3オクターブDに対応する。また基音のCに対して6倍の音高は、第3オクターブGに対応する。平均律ではそれぞれ整数でない4.490倍と5.993倍が対応する。
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■4■また第3オクターブDの振動数に対して6倍の音高は、第5オクターブAで、基音Cからは27倍となる。さらに第3オクターブGの振動数に対して9/2倍の音高もまた第5オクターブAで、基音Cからはやはり27倍となる。基音から9/2倍×6倍も、6倍×9/2倍も、共に第5オクターブAの27倍になる。
基音Cを9/2倍すると、16度上の第3オクターブDとなる。
基音Cを6倍すると、 19度上の第3オクターブGとなる。
基音Cを27倍すると、 34度上の第5オクターブAとなる。
基音Cを9/2倍し、さらに6倍すると、34度上の第5オクターブAとなる。
基音Cを6倍し、さらに9/2倍すると、34度上の第5オクターブAとなる。
平均律だと1→4.490 純正律だと1→9/2
ピュタゴラス音階1→9/2
平均律だと1→5.993 純正律だと1→6
ピュタゴラス音階1→6
平均律だと1→26.908 純正律だと1→40/3
ピュタゴラス音階1→27
■5■この9/2倍と6倍の数値は純正律における比律だが、平均律では2の12乗根を26回掛けた4.490倍と、31回掛けた5.993倍が対応する。なお純正律(ツァルリーノ音階)だと同じオクターブ内でのCとAの振動数の比は1:5/3だが、ピュタゴラス音階だと27/16で、第5オクターブAはぴったり27倍になる。
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■6■正6面体と正8面体は1度の面点変換で互いに入れ替わり、2度目の面点変換で体積27倍の元の立体になる。正4面体は1回の面点変換で体積27倍だが逆向きの正4面体になる。正4面体は2回の面点変換で元の向きだが体積は729倍になる。正4面体は正逆2種類の対で1つと見ることもができるのだ。
■7■このことからもプラトン立体は5種類しかないが、双対性を考える場合は正4面体を2つとして、全部で6つと数える視座も必要なのだろう。これはまたどこかで5芒星と6芒星の問題や10進法と12進法や黄金比φと円周率πなどとも深く関係としてくる。正4面体は虚実の2重構造とも捉えられるのだ。
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