Ａ-014　正４面体から切頂４面体を切り出す

　
回転する切頂４面体　ウィキペディア（Wikipedia）より借用して加工

■１■先日スペイン在住の方からコメントをいただいた。その方が過日スペイン人の数学者とお話をしたおりに、幾何学の専門用語がたくさん出てきて、その時「カタランの立体」というものも話題に上がったのだそうだ。カタランの立体とは13種ある準正多面体（アルキメデス立体）の相対立体のことである。

■２■13種あるアルキメデス立体と面点変換することで入れ替わる立体なのだから、カタランの立体もまた13種ある。このEugene Charles Catalanという数学者はベルギー人なのだが、カタランというのはカタルーニャ人という意味もあるのだから、ひょっとしたら先祖はカタルーニャ州出身なのかも知れない。

■３■ところでそのカタルーニャはスペインの準州で、州都がバルセロナだ。アントニ・ガウディのサグラダ・ファミリア教会や、カンプ・ノウがホームスタジアムのサッカーチームＦＣバルセロナなど種々思い入れがあるが、何よりコメントをくださった方の旦那さん（※）がバルセロナ在住なのであった。

　　　

■４■さて13種のカタランの立体を見る前に、その双対立体であるアルキメデス立体から着手しなくてはならないのだが、その中で一番シンプルなものが切頂４面体だ。プラトン立体の中で一番シンプルなのが正４面体だが、切頭４面体はその名前の通り、正４面体の４つの頂点部分を切り取った形をしている。

■５■切り取る部分は、正４面体の４つの面である正３角形の辺の１／３の部分より先で、その結果点は12、線が18、面が８(正６角形４面＋正３角形４面)の立体になる。図でも分かるとおり、線(稜)が３本で正３角形を作り、６本で面積６倍の正６角形を作っている。正多面体でないので２面角は２種類ある。

■６■正６角形同士が作る角度が70度31分44秒で、正３角形と正６角形が作る角度が109度28分16秒だ。この２つの２面角の和はぴったり180度の平角となる。１辺を１とすると正６角形４面に内接する球の半径は0.6124であり、正３角形４面に内接する球の半径は1.0207となり、その比は黄金比に近似している。

　　　

■７■中心角は50度28分で、中接球半径は1.0607、外接球半径は1.1726だ。中接球半径＝正６角形の内接球半径は√３(＝1.7320)となる。正４面体の辺の１／３より先の部分を切り取った形と表現したが、この切り取った正４面体の体積は、正４面体を内側に面点変換した小さな正４面体と等しく１／27である。

■８■したがって切り出す前の正４面体と、小さな正４面体を４つ切り出した切頂４面体の体積比は27：23ということになる。足せばちょうど50である。正６面体と、その正６面体と外接球を共有する正４面体から切り出された切頂４面体を比較すれば、その体積比は27：５ということになる。

（※）有名なスペインのフラメンコ・ギタリスト、カニサレス氏。http://www.jmcanizares.com/jp/biografia.php