Ａ-013　正４面体を２分割して90度回転する

■１■まず滅多にないことだろうが、正４面体のプリンを２等分割しなさいと言われたらどうするだろう。直交３軸系の立方体や直方体と異なるので少し悩むが、先ず思いつくのは正４面体を切り台の上に乗せて、頂点から１本の稜線に沿って包丁を下ろし、１つの面と底面を２つの直角３角形に分ける方法だ。

■２■何も語らず実際に切り分ける人もいるだろう。また論理的思考の人なら「正４面体の任意の点Ａから対辺ＢＣの中点Ｄへ下ろした垂線ＡＤと、その正３角形の面を含まない正４面体の頂点Ｅが作る２等辺３角形ＡＤＥを含む面で切断して２分割すれば可能だ」等と幾何学的に証明してくれるかもしれない。

■３■その断面は１：√３：√３の３角形になる。しかし２等分割した断面が正方形になる切り方はあまり知られていない。文才の有無に関わらず、文字だけの説明は実に分かり難い。正４面体の２面角は70.5度で中心角は109.5度なのに、正方形の90度はどこに隠れているのだろう？下の写真を見てもらおう。

■４■６本ある正４面体の稜線の線心同士を全て繋ぐと、各面がテトラクティスあるいはあの鎌倉幕府の北条一族の家紋三つ鱗（ミツウロコ）の形になる。各面を１：３に分割する線を上手く繋ぐと正方形になる。上の形はその内部にある正方形に沿って正４面体を２等分割した後、互いを90度捻った形である。

■５■直角90度±19.5度の70.5度と109.5度、平角180度を120度と60度つまり１：２に分け、また正４面体を２等分割する、内部にある１辺１／２の正方形等々、文才の有無に関わらず、文字だけの説明は実に分かりにくい。幾何学的形体の情報を共有するには、視覚的理解がいかに重要であるかということだ。

■６■実際にこの立体パズルを動かせば腑に落ちるのだろうが、誰もがそんな機会を得るわけではない。そこでこの２つのパーツを直交する位置にある２本の線を貫く軸に沿って、90度回転させる前後と、その途中である45度回転した形と共に、切り離したまま回転させた図(灰色部分が正方形)も添えておいた。

■７■なお正４面体の２面角は70.5度なのに、その点がなぜ内部の正方形の直角90度になるのかを感覚的に理解するには、正４面体に中接している正８面体を、その４頂点を繋いで２分割した時の断面と同じだと分かれば納得できるだろう。しかしこの正４面体と正８面体の関係が分からないとそれも難しいか。