Ａ-012　正４面体の面点変換を見直してみる

■１■正４面体を面点変換すると、上下反対向きの正４面体になる。しかし実は上下だけではなく、共通の重心を特異点として全ての要素が反転していると見ることができる。上図は双方を同時に見るために視座を外部に固定して、面点変換の過程をとして、対称的な位置に中割りの図を差し込んでみたものだ。

■２■左端の正４面体の左手前の面を赤色にして、面点変換で点になるまでの途中の面の形を示してみた。また回転対称軸で立体の反対側にある頂点から、面点変換で逆向きの正４面体になるまでの過程を青色で示しておいた。これは左から右へ流れとして示したが、右から左への面点変換としても見て取れる。

■３■左端の正４面体と右端の正４面体の中間にある立体は正８面体だ。そしてその前後には逆向きの切頭４面体というアルキメデス立体が２つ顔を見せている。左端と右端の正４面体の体積比は27：１だが、間に挟まる２つの切頭４面体同士の体積比も27：１である。他にも様々な対称性を見ることができる。
　　
■４■正４面体はその中心点を介して、立体の回転対称軸の反対側にある<面>と<点>が、あるまた種の回転として捉えられる連続する変形によって互いの形状要素が入れ替わる。このは、他のプラトン立体も同様だが、重心を介して回転対称軸の反対側にある<線>同士面点変換によって90度回転することになる。

■５■また面点変換の前と後では、それぞれの要素と重心までの距離もまた全て３：１となる。したがって立体の各線長の比は３：１、各面積比は９：１、そして体積比は27：１となる。面点変換とは、立体のそれぞれの要素が重心を介して、つるべのように全てが連動して変形しゆく一連の変化の全体である。

■６■左端の正４面体の内接球は、右端の正４面体の外接球でもある。つまり１つの接球を介して２つの正４面体が接続しているということだ。ではもう１度面点変換して、２つの接球で連結する３重の正４面体を見ることもできる。これは１つの正４面体を内と外に同時に面点変換することと同じことである。

■７■連続する２回の面点変換で連結する３重の正４面体の体積比は１：27：729である。<正６面体−正８面体>、及び<正12面体−正20面体>のペアは、連続して４回の面点変換で、それぞれ体積比が１：27：729の３重の立体になる事から見ても、正４面体自体がスピン１／２的であると表現することができよう。