Ａ-011　正４面体と64

■１■64は８の２乗であり、４の３乗であり、また２の６乗である。64はチェスの盤面のマス目の数であり、ＤＮＡの４種のヌクレオチド（アデニンＡ,シトシンＣ,グアニンＧ,チミンＴ）による３連子の遺伝暗号コドンの数であり、また易経の陰陽パターンの数である。しかしそれぞれの対応が異なっている。

■２■チェスのマス目は８の２乗、ＤＮＡコドンの数は４の３乗、易経の卦の数は２の６乗だ。８Ｘ８のチェス盤は２次元であり、４Ｘ４Ｘ４のコドンは３次元的に考えることができるだろう。そして易経の陰陽パターン２の６乗＝64だが、これは６次元として考えるより２進法として考えたほうがいいだろう。

■３■易経の64の卦は、３本のバーが0N(陽)かOFF(陰)かを２回重ねて、６本のバーで表現する。正４面体の面と点は共に４だが、線は６本ある。そこで１つの正４面体を固定し、底面の３本の線を下のバーに、そしてそこから立ち上がっている３本の線を上のバーに対応させて、それが陰か陽かを見てみよう。

■４■すなわち下図のように正４面体ABCDの６本の線を、上の３本のバーを上からAB,AC,ADに、また下の３本を同じくBC,BD,CDに対応させて見ていくのである。このモデルは立体なので本来ならばネオン管などを配して別個にON-OFF可能なオブジェで表したいところだが、今回はとりあえず対応表で表しておく。

　　
　　　

　　　　　　　　　　【正４面体による６４卦表現】

■４■下図の黄緑色で示した４の３角数は10であり、４の４角数(平方数)は16なのだが、そもそもこの円はピュタゴラスの考えに沿って点を完全さに輝く円として見てみたものだった。この円を正３角形に変えて結ぶと下図中央のように逆向きの正３角形が入るので、こちらも10ではなく16になることが分かる。

　　　

■５■次にこれを１つ立ち上げて正４面体と正６面体で考えてみよう。１辺４単位の正６面体の体積は４の立方数64(＝４Ｘ４Ｘ４)ユニット分になる。しかし１辺４単位の正４面体の体積は(１→４→10→20と)４の正４面体数20ユニット分になるのではなく、こちらもまた(１→８→27→64と)64ユニットになる。

■６■これは多面体の１辺が１-２-３-４…となるに連れて、その面積は１-４-９-16…となり、体積は１-８-27-64…となる関係の現われなのだが、正４面体の１段目,２段目,３段目,４段目…の各段の体積は１-７-19-37…(下図のように)となっている。そしてその段までの和が１-８-27-64…となっている。

　　　

■７■多面体の単位長が１増加するごとに、その体積増加分は正４面体の新たなる１段の体積増加分と同じであることが分かる。なおこの体積増加分は「波紋状６角数」の各項数１→７→19→37…と同じである。つまりこの平面を同心円状に充填していく波紋状６角数分だけずつ立体の体積は増加していくのだ。

■８■ＤＮＡの２重螺旋にはＡ:アデニンとＴ:チミン、Ｇ:グアニンとＣ:シトシンという４つの塩基が配列されている。この遺伝情報を伝達ＲＮＡが転写して運搬ＲＮＡに翻訳され、タンパク質を構成している20種類のアミノ酸を作るのだが、４種のヌクレオチドから３個ずつが１つのアミノ酸に対応している。
　　
■９■順列組み合わせから４^３＝64パターンができる。(ただしＲＮＡは４種の塩基のうちＴチミンの代わりにＵウラシルが使われている。)この64パターンは通常、上図右のように４Ｘ４Ｘ４の正６面体で表現されている。ところで辺長４単位の正４面体の体積比率は64であり、４の正４面体数は20でだった。

■10■しかしこのアデニン、チミン、グアニン、シトシンという４つの塩基と、辺長４単位の正４面体の４、及び４の正４面体数における４という数との対応、そして４種のヌクレオチドから３個ずつというコドンの３連子と正４面体を構成する各面の正３角形を対応して考える見方もあるのではないだろうか。

　　　

■11■1967年にビートルズが発表したアルバム“Sgt. Peppers Lonely Hearts Club Band”に収録の「When I'm Sixty-Four」は、ポール・マッカートニーが少年時に停年間際の状況を想像して作った曲で、「64歳になっても僕を必要としてくれるかい？」と恋人に問いかけるラブソングだ。64にも色々あるのだ。