Ａ-005　正４面体とその表面積√３

■１■１辺１の正３角形の面積は(√３)／４＝0.433012701…である。正４面体は正３角形が４面あるので、１辺１の正４面体の表面積は√３＝1.732050808…となる。この値を元に幾つかの多面体表面積の数値と惑星運行周期の数値などとを比較して、その数値の相似を万華鏡を覗くように見てみることにしよう。

■２■まず１辺１が８本からなる多面体である正４角錐、つまり正３角形の４面と１辺１の正方形が底面のピラミッド形の表面積は、１＋√３＝2.732050808…である。この値はすぐに月の公転・自転周期27.321586…日を連想させる。また桁は違うが10進法ホロンとして見るならば、絶対０度は−273.15℃である。

■３■逆に言えば水の融点０℃は273.15Ｋ(ケルビン度)だ。そしてこの絶対０度に近い宇宙の背景輻射、ビッグバンの残響温度は2.72Ｋである。また273日は１年365日の３／４であるし、マヤの神聖暦ツォルキン260日に同じくマヤの整数13を足した日数も273となる。これはマヤの819日周期暦の１／３でもある。

　　　

■４■次に１辺１のデルタ６面体(※1)、つまり２つの正４面体を１つの面で合わせた形の正３角形６面体の表面積は(３√３)／２＝2.598076211…である。これは１辺１の正６角形の面積に等しい。10進法ホロンとして、１辺100のデルタ６面体の表面積はほぼ25980だが、惑星歳差運動周期の25920年を連想させる。

■５■この数値はマヤの時間計測単位の26000年とも符合する。神聖暦ツォルキンの日数260は、８次魔方陣の定和でもある。2600�qは土星最大の衛星タイタンの半径であり、2600�s／ｍ3は原子番号13：Alアルミニウムの密度である。約2600�sは１m3あたりの地球表面の岩石密度だ。光は１日にほぼ260億�qを進む。

■６■１辺１の正８面体の表面積は(２√３＝)3.464101615…である。したがって１辺10の正８面体の表面積は約346.41であり、地球の食年346.62日に非常に近い数値となる。食年とは太陽が黄道と白道との交点を通過してから再びその交点に戻るまでの時間のことで、この間に１回地球上で日食・月食が起こる。

　　　

■７■また１辺１のデルタ10面体の表面積は(５√３)／２＝4.330127019…で、１辺１の正３角形の面積の10倍である。またこの1000倍は木星の公転周期4332.5029日に近似している。さらに１辺１のデルタ14面体の表面積は(７√３)／２＝6.062177826…だが、この数値は１辺１の正６面体の表面積に近似している。

■８■１辺１のデルタ16面体の表面積は４√３＝6.92820323…だが、１辺10のそれは火星の公転周期の686.98405日に近似している。100倍は27のピラミッド数6930に近似する。１辺１のデルタ18面体(部分的に凹)の表面積は(９√３)／２＝7.794228632…だが、１辺10のそれは火星会合周期779.8660日に近似する。

■９■最後に１辺１のプラトン立体の表面積を見てみよう。最初に見た通り正４面体は√３＝1.732050808…であり、また正８面体は２√３＝3.464101615…だった。正６面体のそれは６である。そして正20面体は５√３＝8.660254038…だ。それから１辺１の正５角形の面積は５／３だから、正12面体は20となる。

　　　　　　　　　全て１辺は１とする。また比較のために右に添えた惑星周期などは10進法ホロンである。

　　

■10■単位立方体の立体対角線は√３であり、単位正４面体の表面積も√３である。キリスト教徒が魚として知っている象徴の形状である、２つの円が交差したベシカ・パイシスの中にも√３を見出せる。BC６世紀、ピュタゴラスは２，３，５の平方根は全ての形態を創出する根本的特性であることを発見した。

■11■この３つの平方根は神聖幾何学の中でも聖なる根(ルート)として扱われている。発見された時ピュタゴラス学派を震撼させた√２の特性は「発生」である。また√３の特性は「３次元空間の形成」だ。そしてφを定義付ける√５の特性は「再生」もしくは「成長」であり、生命を与える本質の権限である。

（※1）デルタ多面体とは各面が全て正３角形でできている凸多面体の事で、それぞれデルタ４，６，８，10，12，14，16，20面体の８種類がある。デルタ18面体は部分的に凹なのでこの数には入らない。なおデルタ４，８，20面体はまたプラトン立体の正４面体、正８面体、正20面体でもある。なおデルタ６面体は正３角柱(プリズムの形)を面点変換してできる双対の立体でもある。