Ａ-004　正４面体の３つの接球

■１■正４面体も含む５つのプラトン立体には全て外接球・中接球・内接球という３種類の接球がある。この３接球を正４面体をモデルとして見ていこう。まず上図左の球体は、正４面体の全ての頂点とだけで接する外接球である。それから中央の球体は正４面体の全ての線心(線の中央)と接する中接球である。

■２■そして右側の球体がこの正４面体の全ての面心(面の中央)と接する内接球である。この正４面体の３接球はみなこの正４面体の重心を共有している。したがって外接球半径は重心と４頂点との間の距離であり、中接球半径は重心と６つの線心の距離であり、内接球半径は重心と４つの面心との距離である。

　　　

■３■正４面体を２つ、中接球を共有することで逆向きに相貫させると、いわゆるケプラーの星型８面体になる。この８頂点を結ぶとできる形が正６面体であるということは、この正６面体とケプラーの星型８面体、そしてその元となった２つの正４面体は、みな同じ１つの外接球を共有しているということだ。

■４■また２つの正４面体の重畳部分が正８面体になるということは、この正８面体はその外接球を２つの正４面体の中接球として共有するということを、図２中央に示した。この正８面体の外接球は、正６面体の内接球としても共有されている。正４面体と正６面体が外接球を共有していることは既に述べた。

　　

■５■上図左は正４面体の中接球が６本の線心のみで接しており、一部が外部にはみ出していることを示している。中にあるのは正４面体面の内接球と点変換した正４面体である。また右図は正４面体の内接球を介して内側に面点変換した正６面体である。分かり易いように正８面体とその内接球で表してある。

　　　正４面体はケプラーの星形８面体と中接球を共有している。
　　　正４面体は正６面体と外接球と共有している。
　　　正４面体は中接球を正８面体の外接球と共有している。
　　　正４面体は内接球を正６面体(小)の外接球と共有している。
　　　正８面体は外接球を正６面体の内接球と共有している。
　　　正８面体は内接球を正６面体(小)の外接球と共有している。

■６■下図は正４面体の外接球を表している。左図は正４面体の高さと外接球直径は３：４であること、正４面体の重心は高さの１／３にあることを示す。中図は頂点−面心軸で回転させると、大円より19.5度の位置で接することを示し、右図は正４面体の外接球と内接球直径が３：１であることを示している。

　　

■７■中接球半径を基本の１とすると、これら３接球の半径比率は外接球半径：中接球半径：内接球半径＝√３：１：√３／３＝1.7321…：１：0.5774…となっている。中接球半径を基本の１とした時、外接球半径比√３と内接球半径比√３／３は逆数になっているので、掛け合わせると中接球半径比１になる。

■８■この関係はフラクタルではないが、黄金分割比の１に対する大きな黄金比φ(1.618…)と小さな黄金比φ'(0.618…)を掛け合わせると１になるという構造を連想させる。また外接球半径比を内接球半径で割ると３になる。これは３次元空間で正４面体を面点変換すると体積比が27：１になることの表われだ。

■９■１次元の線の３はそのまま３：１、２次元の面は９：１となる。なお中接球半径比１と外接球半径比√３の和（１＋√３＝）2.7321…は月の自・公転周期27.32…の１／10に非常に近い値である。また中接球半径比１と外内接球半径比√３との差0.732…の半分は0.366…で地球の自転周期の１／1000となる。

　　　内接球、中接球、外接球の体積比は　　１：３√３：27である。
　　　内接球、中接球、外接球の断面積比は　１：３：３√３である。
　　　内接球、中接球、外接球の半径比は　　１：√３：３

　　　外接球半径Ｘ内接球半径＝√３Ｘ√３／３＝１
　　　外接球半径÷内接球半径＝√３÷√３／３＝３
　　　外接球半径＋中接球半径＝１＋√３＝2.7321