Ａ-003　正４面体の回転対称軸

■１■多面体など３次元図形の場合、中心軸の周りを回転させると自らと重なる性質を「回転対称」と言い、図形を特徴付ける対称性の一群である。またその中心軸を「回転対称軸」と言う。360 度回転するうちにｎ回自らと重なる性質を、ｎ重回転対称性と言う。ｎは整数。２重対称性は線対称と等価である。

■２■５種類あるプラトン立体の中で、点８面６の正６面体と点６面８の正８面体は、それぞれ「面点変換」(面と点を交換)すると相手の立体になる「双対立体」である。また点20面12の正12面体と点12面20の正20面体も同様の関係がある。双対立体は交差して、アルキメデス立体などのファミリーを形成する。

■３■正６面体、正８面体、正12面体、正20面体の回転対称軸は、全て立体の真逆の位置にある面心(面の中心)同士、頂点同士、線心(線の中心)同士を結ぶ線である。しかしプラトン立体の中で、残る正４面体だけは面点変換すると逆向きの自分自身になる。つまり自分自身と双対の関係になっているのである。

■４■その結果､プラトン立体の中で正４面体だけは､<線心−線心>のほかに、立体の真逆の位置にある面と頂点を貫く<面心−頂点>の回転対称軸が存在するのである。上図の中段の３つの図は、正４面体の回転対称軸を視線方向と重ねて示したものだ。結果として回転対称軸は、図形の中心で点になっている。
　　　　　　　　　　　　　　　　
■５■左は他の４立体と同様に、対の位置にある線の中心を貫く<線心−線心>の２重回転対称性である。しかし中央の図は面の中央と逆側の頂点を貫く軸であり、右図はそれを逆側から見た図である。正４面体は線６面４点４なので、<線心−線心>の回転対称軸は３本、<面心−頂点>の回転対称軸は４本となる。

■６■その他のプラトン立体の回転対称軸は、正６面体(<線心−線心>６本、<面心−面心>３本、<頂点−頂点>４本)と正８面体(同６、４、３)が13本、正12面体(同15、６、10)と正20面体(同15、10、６)が31本となっている。この正４面体以外の４立体については、後でそれぞれの立体ごとに再び詳しく見よう。

■７■平面で最小要素の多角形である正３角形の回転対称性は３であり、立体で最小要素の多面体である正４面体の回転対称軸は７である。世界最古のリグ・ヴェーダやミトラ神話には｢３倍拡大｣と７大天使・７惑星・７曜日が出てくる。女性の体には上半身(頭部)に７つの穴が、下半身には３つの穴がある。
　　　
■８■プラトン立体の対称性を語るには、回転対称性だけではなく面を境界にした｢鏡像対称性｣も見る必要がある。４本の３重回転対称軸と３本の２重回転対称軸を持つ正４面体は、それぞれ６本あるうちの１本の辺を含む６面の鏡像対称面がある。上図は正６面体に重ねることで位置を固定して示したものだ。