Ａ-003　正４面体の回転対称軸

■１■多面体など３次元図形の場合、中心軸の周りを回転させると自らと重なる性質を「回転対称」と言い、図形を特徴付ける対称性の一群である。またその中心軸を「回転対称軸」と言う。360度回転するうちにｎ回自らと重なる性質を、ｎ重回転対称性と言う。ｎは整数。２重対称性は線対称と等価である。

■２■５種類あるプラトン立体の中で、点８面６の正６面体と点６面８の正８面体は、それぞれ「面点変換」(面と点を交換)すると相手の立体になる「双対立体」である。また点20面12の正12面体と点12面20の正20面体も同様の関係がある。双対立体は交差して、アルキメデス立体などのファミリーを形成する。

■３■正６面体、正８面体、正12面体、正20面体の回転対称軸は、全て立体の真逆の位置にある面心(面の中心)同士、頂点同士、線心(線の中心)同士を結ぶ線である。しかしプラトン立体の中で、残る正４面体だけは面点変換すると逆向きの自分自身になる。つまり自分自身と双対の関係になっているのである。

■４■その結果、プラトン立体の中で正４面体だけは、<線心−線心>のほかに、立体の真逆の位置にある面と頂点を貫く<面心−頂点>の回転対称軸が存在するのである。上図の中段の３つの図は、正４面体の回転対称軸を視線方向と重ねて示したものだ。結果として回転対称軸は、図形の中心で点になっている。
　　　　　　　　　　　　　　　　

■５■左は他の４立体と同様に、対の位置にある線の中心を貫く<線心−線心>の２重回転対称性である。しかし中央の図は面の中央と逆側の頂点を貫く軸であり、右図はそれを逆側から見た図である。正４面体は線６面４点４なので、<線心−線心>の回転対称軸は３本、<面心−頂点>の回転対称軸は４本となる。

■６■その他のプラトン立体の回転対称軸は、正６面体(<線心−線心>６本、<面心−面心>３本、<頂点−頂点>４本)と正８面体(同６、４、３)が13本、正12面体(同15、６、10)と正20面体(同15、10、６)が31本となっている。この正４面体以外の４立体については、後でそれぞれの立体ごとに再び詳しく見よう。

■７■平面で最小要素の多角形である正３角形の回転対称性は３であり、立体で最小要素の多面体である正４面体の回転対称軸は７である。世界最古のリグ・ヴェーダやミトラ神話には「３倍拡大」と７大天使・７惑星・７曜日が出てくる。女性の体には上半身(頭部)に７つの穴が、下半身には３つの穴がある。

　　　

■８■　プラトン立体の対称性を語るには、回転対称性だけではなく面を境界にした鏡像対称性も見る必要がある。４本の３重回転対称軸と３本の２重回転対称軸を持つ正４面体は、それぞれ６本あるうちの１本の辺を含む６面の鏡像対称面がある。上図は正６面体に重ねることで位置を固定して示したものだ。