正４面体を相貫させることによって正８面体と正６面体ができることはすでに見た。では今度はこの正８面体と正６面体の中接球を共有させることで相貫させてみよう。その結果できた形が上図中央の正８面体と正６面体の相貫体、略して正８−６相貫体である。中接球を共有させてあるので、それぞれ１２本ずつある線の真ん中が交差しているのが分かるだろう。次にケプラーの星型８面体の時のように、この正８面体と正６面体の全ての頂点１４個を結ぶと、上図左の菱形１２面体という立体になる。最初の正８面体と正６面体の線が、菱形面の対角線になっているのが分かるだろうか。この菱形の内角はすでになじみとなっているあの７０.５度と１０９.５度である。またこの対角線の比率は１：√２である。そしてこの菱形１２面体の体積は元の正６面体のちょうど２倍になっている。

　次に相貫させた正８面体と正６面体の重なっている部分、つまり尖がった４角錘と３角錘を全て取り払った形を見てみよう。それが上図右でこの立体はベクトル平衡体と呼ばれている（※）。なおベクトル平衡体は正６面体の中接球をつないでできる立体でもあるので、面点変換する正８面体と正６面体の間に入る関係である。たとえば正８面体を内接させている正６面体を見れば、正６面体自らは外接球に収まり、正８面体は正６面体の内接球に収まっているわけだが、この時正６面体の中接球に収まっているのがベクトル平衡体である。

　ベクトル平衡体は１つの球体に同じ大きさの球を１２個接して最密パッキングした時、その１２個の球体の重心をつないでできる形でもある。この中心球も入れた全部で１３個の球体から、中心にある球１つを抜き去ってみよう。すると中心に空いた空間を埋めようとして残る１２個の球体は少しずつ内側に移動し、やがて安定した位置に収まる。その安定した１２個の球の重心をつなぐと正２０面体になる。さらにこの正２０面体を面点変換することによって、正１２面体ができるのである。

（※）この面１４、点１２、線２４の立体は立方８面体という別名があるが、ここではよりその特性を表しているベクトル平衡体という名前を用いることにする。なおこの立体を最初にこのように呼んだのは、バックミンスター・フラーである。