プラトン立体やアルキメデス立体や球体などの幾何学的立体には、その面・点・線や角度や比率などの関係性はあるが、確定した大きさや体積というものはない。１辺が１ミクロンでも１天文単位に設定しても正４面体は正４面体であり、その２面角や中心角や回転対称軸は変わらない。ここで立体の１辺の長さを固定したり、３接球を共有させたりしながら、その形における整然とした空間占有比（平たく言えば体積比）を見ていこう。

　サイコロやビルの形のように３次元の３軸直交を有する、現実の私たちに最も馴染み深いプラトン立体である正６面体を基本フレームとする。そしてこの３次元を形成している正６面体の６という数字を取って、その基本の正６面体の体積比を６とおくことにしよう。するとそれに内接する正８面体の体積比は１である。そして基本の正６面体と外接球を共有し、その小さな正８面体を中接内包する正４面体の体積比は２だ。さらにその正４面体の自己相貫体である、ケプラーの星形８面体は３。そして基本の正６面体に中接するベクトル平衡体は体積比５である。また正６面体と中接球を共有する正８面体の体積比は８。さらに中接球共有によってできる正８・６相貫体の体積比は９。最後に基本の正６面体を反転してできる菱形１２面体の体積比は１２。なんと整然とした体積比率であろうか。

　なおここでも見えない７は健在というべきか、この体積比に相当する美しい立体は見当たらない。そしてこの正６面体を基本の体積６としたこの系もまた、ちょうどその２倍の体積１２である菱形12面体をもって１つの臨界を迎えている。