■下表はフュンク・ウレの数列である。この数列は第12項の1000で１つの臨界面を迎える。その第12項を反転界面にして黄金比φの累乗及びその逆数（の近似値の1000倍）が鏡像的な位置関係にあるのが分かる。この界面を特異点と考えれば、それ以前の１〜12項は１の内部構造として見ることもできるだろう。

■またフュンク・ウレ数列の第13項からは、新たに＜初項１，第２項３＞の形のリュカ数列の1000倍に近似した数列がスタートしている。参考までに最右列にリュカ数列を示しておいた。「黄金比のｎ乗」及び「リュカ数の第ｎ項」の1000倍が、フュンク・ウレ数列の（12＋ｎ）項との極似が見て取れるだろう。

■この数表から、１〜11までの位置に13〜23までのリュカ数列の逆数が鏡像的に入っていることも分かる。なおフュンク・ウレの数列の第12項は黄金比φに対する１となっているが、これに対して最右端の数列が真のリュカ数列であるためには、この位置の初項には「１」ではなくの「２」が入る必要がある。

　

■ここに２が入るところにリュカ数列とともに「２」という数自体の特殊性が見て取れるだろう。つまりこの界面は10と12の重なる特殊な位置であるだけでなく、φの０乗の０、φの累乗数列の１、リュカ数列初項の２として、０と１と２が重なる位置でもあるのだ。「世界は３から始まる」という言明の意味。

φ-010　黄金数列の界面と平行する諸数列系