■良く知られているように、幾何学が大きな進歩を遂げたのは古代ギリシアの時代だった。幾何学を表す英語の"geometry"は、ギリシア語の土地＋測量の意味の"geo+metry"からきている。日本語の「幾何」という言葉は、接頭語の"geo" を中国で「幾何」と音訳されたものがそのまま輸入されたものである。

■この幾何学の起源は、古代エジプトの土地測量の手法にまで遡れるという。実際の話かどうかは別として、毎年定期的に起こるナイル川の洪水の後に、古代エジプト人は等間隔に13個の結び目をつけたロープを使って辺長比３：４：５の直角３角形を作り、それを用いて測地していたというエピソードによる。

■３：４：５といえばピュタゴラスの３角形もしくはエジプトの３角形と言われている直角３角形の辺長比だ。この３つの数値の和12、積は60で、シュメール起源といわれている12−60進法を連想するが、おそらく直接関係があるものと思われる。この12と60の比は１：５であり、この３角形の面積は６である。

　

■多面体の中でも最も空間対称性が高いプラトン立体。その要素である面・点・線に注目しよう。それぞれの立体は全ての面が同一の正多角形であり、全ての辺が同じ長さであり、全ての頂点には同じ数の線が集まっていることが分かる。ここにも３−４−５という数の整然とした連なりを見て取れるのである。

■まず面の形に注目すると、各面が正３角形なのは正４面体・正８面体・正20面体であり、正方形なのは正６面体であり、正５角形なのは正12面体である。次に１点に集まる線の数に注目すると、３本集まるのが正４面体・正６面体・正12面体であり、４本集まるのは正８面体、５本集まるのは正20面体である。

■ここで各面が全て正３角形である正４面体・正８面体・正20面体の「１つの頂点に集まる線の数」を見てみると、それぞれ３本・４本・５本となっている。逆に１つの頂点に集まる線の数が全て３本である正４面体・正６面体・正20面体の面の角数は、それぞれ正３角形・正４角形・正５角形になっている。

　

■１角形・２角形は存在しないし、１つの点に１本・２本の線が集まっても面は作れない。また面の形が正６角形だと正６角形で埋め尽くされる平面となって立体にはなり得ないし、１つの点に６本の線が集まると同様に正３角形で埋め尽くされる平面になってしまう。つまり３−４−５しかあり得ないのである。

■次にアルキメデス立体を見てみよう。正ｎ角形の面に対して全ての線に正方形が、そして全ての点に正３角形が接続しているものは３種類しかない。正３角形をその中心にした14面体のベクトル平衡体と、正方形を中心にした24面体の斜方立方８面体と、正５角形を中心にした62面体の斜方20-12面体である。

■また正６角形を中心にすると、120度＋90度＋90度＋60度＝360度で平面のまま立体にならないので、これ以上の正多角形では成り立たない。なお正２角形なるものは存在しないが、あえて線分から同じ条件で考えると５面の正３角柱になる(※1)。この双対立体は正４面体が２つ接した形のデルタ６面体となる。

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(※1)いわゆるプリズムの形だが、これはアルキメデス立体ではない。

NUMBER 01-25:多面体の上に３、４、５を見る