■１■ピュタゴラス学派では４段までの３角数の形である｢テトラクティス｣に重要な意味を持たせていたが、プラトンの後期の著書『ティマイオス』にも一見これに良く似た｢プラトンのラムダ｣というものが出てくる。ギリシア文字のラムダの小文字「λ」は形が漢字の「入」と似ているが、大文字「Λ」はちょうど３角形をした山頂の形をしており、この「Λ」の形の上に７つの数字が書き込まれているのだ。

■２■それにはトップに１を配し、左下方には２,４,８と２倍数列が、右下方には３,９,27と３倍数列が配されている。前者は女性数､後者は男性数とも呼ばれるが､このラムダの間も同じ様に埋めれば上図右のように１、２・３、４・６・９、８・12・18・27という形になる。ティマイオスという人物はピタゴラス派として描かれている。晩年のプラトンはソクラテスよりもむしろピタゴラスに近かったらしい。

　　　　　　【ピタゴラス音律】
　　　「ソ」　 ３^１／２^１＝１×３／２
　　　「レ」　 ３^２／２^３＝３／２×３／２×１／２
　　　「ラ」 　３^３／２^４＝３^２／２^３×３／２
　　　「ミ」　 ３^４／２^６＝３^３／２^４×３／２×１／２
　　　「シ」　 ３^５／２^７＝３^４／２^６×３／２
　　　「ファ」　３^６／２^９＝３^５／２^７×３／２×１／２

■３■もちろんこのラムダの数列はテトラクティス同様、下方にいくらでも伸ばすことができるが、基本的には４段までで事足りる。２と３の累乗からピュタゴラス音階はできている。この『ティマイオス』では、宇宙の構造は音楽ということで、ラムダ数をピュタゴラス音律にまで展開している。１オクターブ上音は周波数比が２倍。ドとソは通常周波数比が２：３になる｡波長でいうと１／２と１／３である｡

■４■この周波数を３／２倍する操作を12回繰り返すと３¹²／２¹⁸＝2.02729…となって、２との間に誤差（ピュタゴラスのコンマ）が生じる。この誤差は３¹²／２¹⁹＝531441／524288で、セントにすると約23.46セント(半音の約１／４)だ。平均律より純正律で歌ったほうが綺麗なハーモニーになるので､ドミソの和音を合唱する時､ミのパートの人はピアノの音高より少し低めに歌ったほうがよいなどというあれだ。

■５■実際に図を見ればすぐに分かるが、この２つの「数の正３角形」の中心の数は、｢テトラクティス」が５、｢プラトンのラムダ」が６である。５と６は10進法の表裏の要である。１桁の自然数では自明の１以外では５と６だけが何回累乗しても１の位が変化しない。なお黄金比と円周率自体の間には６φ^２≒５πという関係がある。つまりφとπは５芒星と６芒星のみならず５と６の関係もあるということだ。

■６■上図左はこの６：５の関係を１つの円を６分割と５分割にした関係で示したものだ。もし円周をπに対応させてラジアンで表したものと考えると、５／２周分を１周に（つまり900度分を360度に）圧縮して表してあることになるが、単なる円グラフの均等分割として見ても構わない。その右の図はπとφ^２には関係なく、単なる正５角形と正６角形を完全に重ねたものと、ベシカパイシス状に重ねたものだ。

■７■上図右で示したように交差によって正６角形側にできる新しい角度は６度で360度の１／60であり、正５角形側に出来る角度は12度で同じく１／30である。また上左図は単に円周に正30角形を内接させて、その頂点を５つずつ結んだ正６角形及び６つずつ結んだ正５角形と捉えることもできる。その頂点の位相差は12度、24度、36度、48度、60度だ。12度は360度の１／30で、菱形30面体をも想起させる。

■８■この５π≒６φ^２がどれだけ近似しているかを見てみよう。５πと６φ^２の差異を24／100000に丸めて考えてみると、角度にして0.0864度となる(※1)。円周360度に対して1／12度ほどのずれなので、図ではほぼ表現不可能な差異である。なおこの６φ^２と５πの差0.0864と１日の秒数86400秒は､86.4×10^-３と86.4×10^３と表すと対称的に見えるが、これは12−60進法の計時法と、角度と10進法との綾である。

■９■なおこの５π≒６φ^２という式は１≒５π／６φ^２もしくは分母分子を入れ替えて１≒６φ^２／５πと書き表すことができる。普段は差異がほんのわずかなので等号で表わしたりもするが、ここで改めてその差異を確認してみよう。下に示したどちらの式も小数点以下８桁までに丸めると１±0.00001532となる。１を地球の１年365.242191日に対応させると誤差は8.057535分つまり約８分ということになる。

　　　１≒６φ^２／５π＝１＋0.0000153211811294438540391539833…
　　　１≒５π／６φ^２＝１−0.0000153209463944490701852055693…

■10■８分は１日（24時間×60分＝1440分）の１／180である。太陽が地平線に頭出してから完全に離れるまでの時間はほぼぴったり２分だ。つまりこの誤差は地球の１年と、地上から見て太陽円盤が天空を４個分移動するだけの時間に相当するということになる。なお５π≒６φ^２という式は５≒６φ^２／π、６≒５π／φ^２、π≒６／５φ^２、φ^２≒５／６π、１≒６φ^２／５πなどと様々に変形ができる(※2)。

■11■５と６のセットは様々なジャンルの様々なスケールで機能する。正５角形もしくは５芒星はどこまでも展開していき、正６角形もしくは６芒星は結晶化して満たす。５はホロニックかつフラクタルに増殖する力を持ち、６は世界を充填して維持安定させる力を持つ。バッキーボールやフラードームも３角形６枚の正６角形構造だけでは成立せず、必ず３角形５枚の正５角形が正12面体の頂点の位置に入る。
　
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(※1)π ＝3.1415926535897932384626433832795
φ ＝1.6180339887498948482045868343656
φ^２＝2.6180339887498948482045868343656

５π ＝15.707963267948966192313216916398
６φ^２ ＝15.708203932499369089227521006194
６φ^２−５π＝0.0002406645504028969143040897956

(※2)５≒６φ^２／π 、π≒６／５φ^２、６／５≒π／φ^２
６≒５π／φ^２ 、φ^２≒５／６π、５／６≒φ^２／π
12≒10π／φ^２、１／12≒φ^２／10π、１／６≒φ２／５π
10≒12φ^２／π、１／10≒π／12φ^２、１／５≒π／６φ^２

６φ^２／π＝５＋0.0000766059056472192701957699167
５π／φ^２＝６−0.0000919256783666944211112334157

NUMBER 01-11:５と６…10進法の２つの要