#009 立体の面点変換を回転に同型対応する
 
 


 

)上図右の絵はFrancene Hart の "KA" を借用。
http://www.webady.net/blog/17/11/2008/francene-hart-une-artiste-visionnaire-de-talent/

■下の図はヌーソロジストであるKohsen氏のブログ『CAVE SYNDROME』の「4次元空間を通した精神球の点球への射影」と「プラトン座標における4階層の正6面体と正8面体」と体題された図を借用・加工したものである(「無断転載を命ず」系の逆手取り、感謝)。この図の4重の正6面体の内接球はまた、4重の正8面体の外接球でもある。この4重の接球を界面として4度の正8面体−正6面体の面点変換が行われている。

■そしてこの正6面体の8頂点及び正8面体の8つの面心を貫いて重心に至る8本の線もしくは4本の3重回転対称軸が、kohsen氏が次元連結線もしくは「意識の通る道」と表現するところのものである。より一般的にはシンプルに正6面体の中心角70.5度を形成する√3方向と表現されている。この図は借図なので矢印がみな重心方向を向いてたが、矢印の先を双方向にするために加筆してある。

■そしてkohsenが次元連結線もしくは精神の通路と表現しているところの、この正6面体の8頂点と正8面体の8つの面心及び重心を貫いている(8本に見えるが)4本の線は、一般的には正6面体の中心角70.5度を形成する3重回転対称軸、もしくはもっとシンプルに√3を表わす正6面体の立体対角線であると表現されている。この図では実際の大きさではなく関係性だけを見るために双方向を想定している。

   

()なお上左図の文字は、内側から「点球次元」「垂子次元」「垂質次元」「球精神次元」となっている。
http://noos.cocolog-nifty.com/cavesyndrome/2008/12/index.html の20081201及び20081204より

■上右図には正8面体が描かれていないが、煩雑さを避けるために正8面体も間に挟まった4回の<正8面体−正6面体>の面点変換の操作として話を進めよう。最も小さい正6面体の中にある正8面体の外接球半径を基本の1とすれば、これを内接球とする正6面体の外接球半径は√3となる。この面点変換を4回繰り返すと、正6面体の外接球半径は√3:3:3√3:9となる。

■実際の大きさは関係ないと言ったが、様々なところに当てはめて見ることは可能なので、この関係性を太陽系に当てはめてみよう。まず正8面体の外接球半径を1天文単位(AU)と置いて、面点変換を繰り返す。3回繰り返すと3√3(≒5.1962)AU でほぼ木星の軌道長半径5.2026AUになり、4回だと9AUとなり土星の軌道長半径9.5549AU(ちなみに近日点距離は9.021AU)に近似する。

■肉眼で見える最遠の惑星である土星の公転軌道は、水星・金星・火星・木星・土星に太陽と月を加えて7曜とした有史以来の世界認識・宇宙観の辺縁でもあった。kohsen氏は未だ太陽系との関係に関しては総体的な見え方を公にはしていないが、それでもこの4重の面点変換が人間にとっての一般限界でもある「元止揚空間」とも対応しているのは興味深い。

   

■さて上図はベシカパイシスとそれを形成する対円が、90度回転する度にそれぞれ√3(もしくは一方向を正とすると逆方向の回転なら1/√3)ずつ拡大されていくことを示したものだ。当然4度回転すると360度回転して元に戻る。つまりa,bは図中に描かれていないが、最小のベシカパイシスの短径だとすると、a:b::AB::AB:CD::CD:EF::EF:GH=1:√3::√3:3::3:3√3::3√3:9ということだ。

■すなわち上述した4度の正8面体−正6面体の面点変換と4度の90°回転の1周とは同型対応視できるのである。なおこのホロニックなベシカパイシスの回転軸はそれぞれのレベルの対円の半径の1/2の位置にある。これはまた単位トーラス内部にあるヴィラルソー円=ベシカパイシスも、対円半径の1/2の位置に回転対称軸及びトーラスの中心があったことも想起させる。

■このどちらにも、角度が30度・60度・90度で辺長比が1:2:√3の直角3角形が見て取れた。この「正多面体の面点変換を回転に同型対応する」という作業は、複素平面の虚数累乗と90度回転の関係や、黄金比の1/φ:1::1:φ::φ:φ
の関係も連想させる。これはまだ2つのπを内包するトーラスを見ていく準備段階ではあるが、様々な美しさと秩序が予見できはしないだろうか。

   

■自己と他者もしくは自己と自己以外の全てとの関係を見ていく自己他者問題、もしくは自己Aが自己A'を語ると言う認識レベルの自己言及を超えゆく問題においても、既自己と未自己を「自己」として大きく括って統合しようとする視座の追及にしても、様々なレベルでそれぞれ対応するモデルを構築していく必要があるだろう。

20100525 Tuesday