■前回、180度回転して単位トーラスを作る「立体ベシカパイシス」を想定すると述べた。図上左に示した赤い実線と赤い破線の円の対が、トーラスの中のヴィラルソー円である。この対円は水平面から＋30度傾斜したベシカパイシスの形だった。そしてこの赤い対円を中心軸に対して180度回転させたものが、青の実線と破線で示した対円である。赤と青の対円同士も対称性を有している。
■赤の実線の円は180度回転すれば青の実線の円に重なり、赤の赤の実線の円は180度回転すれば青の赤の実線の円は180度回転すれば青の実線の円に重な線の円に重な線の円は180度回転すれば青の実線の円に重なる。しかし実線の赤と青２つの円を180度回転させるだけでもその軌跡がトーラスを描く。なおもちろん赤の実線円１つを360度回転させてもトーラスは描ける。
■この赤と青の対円の片方ずつを残して、その角度のずれを机上に真上から射影すると平行になる斜線で示したのが上右図である。この２つの円は下左図でトーラスを省いて分かりやすく示したように、どちらも緑色で示した水平軸に２点で接し、また互いの中心を通過してはいるが、交わってはいない。赤が＋30度、青が−30度、合わせて互いに60度傾斜しているからである。
■この互いに接しないが鎖のように組み合わさっている１つ高次の対称性を有する対円をうまくシャボン玉などでつなぐと、下右図のように一見メビウスの輪のようなよじれた帯になる。しかし裏面と表面をずっとトレースしていけば、メビウスの輪のように裏と表とが繋がっていないことが分かるだろう。赤の面と青の面とは表裏のまま繋がっていない。
■上図はHasan Isawi
氏の製作した画像を加工したもので、トーラスのＷ２と穴の直径が等しいトーラスではないが、これを見るとトーラスの中にあるこの２つの対円の関係が分かり易いだろう。なお画像右のポンデリングは、単に８つのポン部分が似ているというだけで、このトーラス内部の２つのリングとは全く関係ないので、誤解のないように。
20100523
Sunday
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