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■１■１辺を綿棒１単位としたプラトン立体とアルキメデス立体で５重対称性を有するものを、サイズに従って最小から最大のものまでを順次接続させ、多重多層な立体構造にする道筋を見ていこう。最大のものは2016年に大神神社の式典用に｢オオモノヌシ｣という愛称をつけて制作した､斜方切頂20-12面体だ。

■２■逆に１辺が１本の綿棒多面体で、一番小さなスケールの多面体は小星型12面体で、こちらには｢星の種｣という愛称がある。実はこれは凸立体であるプラトン立体の定義を凹立体にも当てはめたケプラー・ポアンソ立体(４種ある)というものの１つだが、20ある頂点を繋ぐと１辺が１／φの正20面体になる。

■３■この12ある頂点から１辺１の正３角錐(正４面体)を20個立ち上げると、その頂点は１辺が１／φの正12面体の頂点と重なる。この20の頂点の上に、綿棒１単位で作った５芒星12個を12面に乗せた立体を、５芒星12面体と呼ぼう。綿棒多面体に物質的な｢面｣はないが、実はこの立体には物質的な｢線｣もない。

■４■またこの５芒星12面体は、１辺１の正６面体が５重に自己相貫した立体でもある。これは５芒星が12個の線数が正６面体５つの線数でもあることからも数的に理解できるが(12×５＝60)が、むしろ実際に目で見た方がすぐ分かるだろう。この立体は黄金比を介することで正12面体と20-12面体とも連結する。

■５■この５芒星12面体の各辺から５芒星を30個垂直方向に立てると、その頂点は１辺１の20-12面体の頂点となる｡さらにこの30個の５芒星はその１層下で両手を繋ぐように連結して、１辺１単位の正12面体になる。実際に５芒星42個だけで５芒星12面体･正12面体･20-12面体が連結するのを見るのは感動的だ。

■６■１辺１の20-12面体の正５角形から内向きに５角錐を12個入れ込むと､その12個の頂点は１辺１の正20面体の頂点になる｡さらに20-12面体の60本の稜線から、２本の綿棒の端点間が１：φになるように内側に入れ込むと、頂点が１辺１／φの20-12面体になる。５芒星をつないでその20-12面体も入れ込もう。

■７■次に１辺１の20-12面体の正５角形面に､５角錐を12個外向きに立てると、綺麗に面がそろって２倍体(１辺が２単位)の正20面体になる。この正20面体の各面にある１辺１の正３角形から外向きにベクトル平衡体の半分を乗せて間を30本でつなぐと、１辺１の正６角形20面ができ、正５角形の穴が12個空く。

■８■この形はそのまま１辺１のバッキーボール(切頂20面体)になっているが、ぐらつくので正５角形面に逆向きの５角錐を12個入れ込んで安定させよう。なおこの切頂20面体の正６角形部分にさらに1/2のベクトル平衡体を乗せ､その間を30本でつなぐと間は正４面体で埋まり、できる形は斜方20-12面体になる。

■９■ここで正12面体に戻ろう。正12面体の稜線の上に、１辺１の３角柱を横向きに30個乗せると、１層上に元の正12面体の20個の点は20個の正３角形に、30本の線は30個の正方形に、そして12面あった正５角形はそのまま１層上に再現される。つまり面形が３・４・５で１辺１の斜方20-12面体に接続するのだ。

■10■さらにこの斜方20-12面体の正３角形面の上に､１辺１の正８面体を20個乗せ、１層外側にできる正３角形面を30本の綿棒でつなぐと、その接続部分は１辺１の正３角柱となって隙間を埋め、元の正５角形はみな36度回転した１辺１の正５角形の穴として保持される。結果としてこの形は切頂12面体になる。

■11■先ほどの<正20面体⇔20-12面体⇔切頂20面体⇔>もこの<正12面体⇔斜方20-12面体⇔切頂12面体⇔>も、共に切頂12面体で重なった。最後にこの切頂12面体の正３角形面の上に1/2のベクトル平衡体を乗せ､その正６角形面を２×30本で接続すると正３角柱で隙間が埋まって､最大の斜方切頂20-12面体になる。

■12■なお、基本的に１辺１単位でのプラトン立体とアルキメデス立体の最初に正12面体系と正20面体系を接続させるために、前者は１辺１／φの５芒星12面体や大星型12面体などを介して､最小の小星型12面体(頂点を繋ぐと１辺１／φの正20面体)に接続させたが、ここで１辺１／φのスケール群とも接続する。

20260117 Saturday