#011　アルキメデス立体の俯瞰図（１）

■０■見れば分かるように構成してあるので、煩雑な文字解説は不要という人はただ見て下さい。老婆心で全体の作りを簡単に記しておいたので、興味のある人は文字列もご覧ください。老婆心って婆さんの方も結構疲れます（笑）。プラトン立体の５個はＯＫという人、今年はアルキメデス立体だよ。

■１■タイトル通りの「プラトン立体、アルキメデス立体、そしてその双対立体」の相関図だ。基本のプラトン立体の５つ「正４面体、正６面体、正８面体、正12面体、正20面体」の色を、ドリームスペル仕様の「赤、白、青、黄、緑」にして見たけれど、白色が何気に地味なので紫色を当ててみた。

■２■アルキメデス立体の最初の５つは、プラトン立体の頂点を削って、全ての線が同じ長さにした立体だ。削った部分だけ色を抜いておいた。次に画面右側に正６面体と正８面体を相貫させた共通部分のベクトル平衡体（立方８面体）、正６面体と正８面体を相貫させた共通部分の20・12面体の２つ。

■３■さらに右側に、その２つの立体の頂点を削って、全ての線が同じ長さにした立体が、斜方切頂立方８面体と斜方切頂20・12面体の２つ。削った部分だけ色を抜いておいた。画面左側にめを転じよう。正６面体の頂点と線を削って、各線分が同じ長さになるようにすると、斜方立方８面体となる。

■４■同様に正８面体の頂点と線を削って、各線分が同じ長さになるようにしても、やはり斜方立方８面体となる。図では正６面体由来の正方形部分を同じ色にして置いた。正３角形部分のみを青で着色すると、正８面体側から切りだした立体を表すことになる。正６面体と正８面体双対関係が分かる。

■５■この斜方立方８面体の、正６面体の６面由来の正方形（図では紫に着色してある）に対して、元々線の部分だった正方形を２つの正３角形になるようにして線の長さを揃えると、少し捩れて変形立方体になる。正12面体と正20面体もま頂点と線部分を削って長さを揃えると斜方20・12面体となり、さらに同様の操作を加えることで、最も球体に近い変形12面体になる。

■６■なお画面上の色のついていない残る13個の立体は、アルキメデス立体の双対の立体である。立方８面体と双対の菱形12面体と、20・12面体と双対の菱形30面体は灰色で示してみた。また右下の斜方切頂六方20面体と双対の六方20面体は、惑星グリッドと呼びならわしている立体と同型である。

2016.01.11 Monday

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