#040　味のさしすせそから星のたちつてとへ

■１■「45度・45度・90度」と、「30度・60度・90度」の２種類の３角定規。昔からよく
見慣れたつもりでいる文房具だ。２つの組み合わせで15度刻みの様々な角度が作れるのは
知っていたけれど、今日ちょっとだけ見なおした。去年綿棒で作った惑星グリッドの形状
認識に流用可能ではないかと考えたのだ。

■２■惑星グリッドは同じ１種類の直角３角形120枚から構成されているＵＶＧ120という
立体なんだけれど、以前説明したようにその直角３角形を４枚組み合わせることで出来る
、対角線の長さの比が１：φになっている菱形が30面からなる「菱形30面体」が球面上に
拡張したものと同型対応視が可能である。

■３■同様に共に球面上への展開だが、図のように６枚を60度の頂点で集めて組み合わせ
た、大きな正３角形が全部で20面からなる正20面体と同型対応することができるし、さら
に10枚を組み合わせた60度の頂点で集めて組み合わせた、大きな正５角形が全部で12枚か
ら正12面体とも同型対応することができる。

　　　

■４■ときに綿棒で60＋60＋60＋60＝240本で４重構造に作った菱形30面体的な惑星グリ
ットをつくることができるのだが、この対角線が１：φの菱形の代わりに、正３角形を２
つくっつけた菱形を30枚用いて、対角線が１：√３の菱形で、疑似惑星グリッドを作るこ
ともできた。２つ並べ見た事を想起しよう。

■５■最初に示した３角定規のうち、「30度・60度・90度」の３角定規、すなわち辺長比
が１：２：√３の直角３角形の定規を120枚用いても、疑似惑星グリッドを作ることがで
きるのではないかと今日気がついたのだ。綿棒多面体は綿部分を押したり引っ張ったりし
て帳尻を合わせれば惑星グリッドが作れた。

■６■硬い定規は融通が利かないが、それでも120枚を上手く上下に歪めたりしながら、
接続部分でずれを吸収できるかもしれない。この疑似惑星グリッドの菱形は対角線の比が
１：√３＝１：1.732…だが、正確な惑星グリッドの菱形は対角線比が１：φ＝１：1.6I8
…だから、誤差は0.11程度ということだ。

　　　

■７■まあしかしたとえ100円ショップに行っても、現実的には片方の直角３角形の定規
ばかりを120点買い集めるというわけにもいかないけれど。ただし正３角形が２つからな
るこの菱形は、中心に直角を４つ集めた対角線にしなくても良いということがわかる。図
のように正３角形を回転させても良いのだ。

■８■なお多面体としての惑星グリッドまたはＵＶＧ12は、立体幾何学的に「６方20面体
」というちょっと味気ない名前が付けられている。この立体と互いに面点変換ができる双
対立体は、「斜方切頭20・12面体」である。この５重対称性を持つ立体も、中心から綿棒
を組み合わせて多面体として制作が可能だ。

2015.02.20 Friday

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