#114　正９角形と太った９芒星

　　　　　（１） 正９角形 １／９
　　　　　（２） ９芒星 ２／９　　　７／９はリバース　太った９芒星
　　　　　（３） ９芒星 ３／９ 　　６／９はリバース ３重の正３角形
　　　　　（４） ９芒星 ４／９ 　　５／９はリバース　尖った９芒星
　　　　　（５） すべての線が含まれている図形。線の総本数は８の３角数でもある３６。
　　　　　（６） ９芒星 （２）＋（３）の形状。エニアグラムを内包する。
　　　　　（７） エニアグラム

■先日ＥＣＣＯの事務所で興味ある図形を見た。色付けや装飾が施されていたが、その基本は上に示した図形のうち上段左から２番目の「太った９芒星」だった。上の図でカッコの中に示してある数字（ｎ／９）は、円の上にある９等分点を何個飛びでつないだ図形かを示すものである。１つずつつなぐと上段左のように正９角形になる。問題の「太った９芒星」は１つ飛ばしでつないだ形であり、以下２つ飛ばし、３つ飛ばしの９芒星である。

■図で示したとおり、（３／９）で表した図形は３つの正３角形を40度ずつずらした形状の９芒星である。２つの正３角形を60度ずつずらした形は６芒星であり、４つを30度ずつずらしたものは12芒星である。また（４／９）で表される形は尖った９芒星である。ちなみに５つ置きに結ぶ形は（４／９）の、６つ置きは（３／９）の、７つ置きは（２／９）の、８つ置きは（１／９）の、それぞれ逆向きにつながれて描かれる同じ形である。

■またこれは余談だが、上図下段に示したように（２／９）と（３／９）を重ねて描くと、その中にグルジェフが表したエニアグラムの形が内包されることが分かる。下段中央の図は平面なのだが、なにやら５芒星が重なり合う立体の透過図のようにも見える。なおこの９つの点を全てつなぐと上図下段左の図のようになり、その全ての関係線の数は36となる。それではぱっと見だと正５角形が重なっ多様に見える「太った９芒星」について考えることにしよう。

　　　

■ｎ芒星というものは基本的にｎが５以上の自然数なら全て成り立つ。ｎが４だったら正方形となり、１つ飛びに結ぼうとすると対角線になって星にはならない。正多角形の頂点をいくつごとに結ぶかによって、その数の回数だけ中心に対して回転して完成する。ｎ角形なら全て１つずつなので１周で完成する。５芒星ならば２つずつなので２周で星型が完成する。なお正３角形が２つの６芒星のようにずれて重なるものも、完成へ至る周回数は同様である。

■さて円周を９等分した点を１つ置きにつないでできる「太った９芒星」だが、上図左に示したようにぱっと見では正５角形を逆向きに組み合わせた形に良く似ている。シンプルに10等分した円周を１つ置きにつないだ正５角形（及び位相を36度ずらした正５角形）と比較すれば、中心角が36度から40度へ、そして円周上の頂点が作る角度は108度から100度へと変わっているのだが、わずか４度（及び倍の８度）の差は瞬時には区別しにくいのである。

■この太った９芒星が中心点との関係で作るいくつかの２等辺３角形とその角度を上図右に示してみた。この９芒星は（２／９）で表現したが、正９角形には他にも（３／９）と表現した位相が40度ずつずれた３つの正３角形の９芒星や、（４／９）と表現した「尖った９芒星」、さらには諸概念を内包するエニアグラム図形も内包されているわけだから、それを見た者やイメージした者にとってはパワフルであるという表現をしても間違いはないだろう。

　　　

■ｎ芒星というものは基本的にｎが５以上の自然数なら全て成り立つ。ｎが４だったら正方形となり、１つ飛びに結ぼうとすると対角線になって星にはならない。正多角形の頂点をいくつごとに結ぶかによって、その数の回数だけ中心に対して回転して完成する。ｎ角形なら全て１つずつなので１周で完成する。５芒星ならば２つずつなので２周で星型が完成する。なお正３角形が２つの６芒星のようにずれて重なるものも、完成へ至る周回数は同様である。

■さて円周を９等分した点を１つ置きにつないでできる「太った９芒星」だが、上図左に示したようにぱっと見では正５角形を逆向きに組み合わせた形に良く似ている。シンプルに10等分した円周を１つ置きにつないだ正５角形（及び位相を36度ずらした正５角形）と比較すれば、中心角が36度から40度へ、そして円周上の頂点が作る角度は108度から100度へと変わっているのだが、わずか４度（及び倍の８度）の差は瞬時には区別しにくいのである。

■この太った９芒星が中心点との関係で作るいくつかの２等辺３角形とその角度を上図右に示してみた。この９芒星は（２／９）で表現したが、正９角形には他にも（３／９）と表現した位相が40度ずつずれた３つの正３角形の９芒星や、（４／９）と表現した「尖った９芒星」、さらには諸概念を内包するエニアグラム図形も内包されているわけだから、それを見た者やイメージした者にとってはパワフルであるという表現をしても間違いはないだろう。

2009.04.15 Wednesday