#028　 １，２，３とピュタゴラス音階

■ピュタゴラス音階は１と２と３からできている。そのことを基本に立ち返って見てみよう。上図左は１本の開放弦の振動を表わしたものだ。人工に処理された単一の周波数を持つ純音でない限り、微弱ではあるがその整数倍の周波数の振動も生起している。固定された両端の間に結節点がない一番上のものが基本波形だ。その下に示した結節点が１つの音が倍音であり、結節点が２つだと３倍音である。以下同様。なお４倍音は倍音の倍音で２オクターヴ上音となる。

■実際にこの弦の１／２の長さの位置を強制的に固定して振動させると、倍音が基本振動音になる。そこでこの基本振動弦の左から１／３の位置で固定してみよう。すると弦の振動数は左と右とで２：１になる。これもオクターヴの関係なので、左右を同時に鳴らしても１つの音に聞こえる。では最初の開放弦の音と比べるとどうなるだろう。左側は３倍音であり、右側は３／２倍音となるが、私たちの聴覚にとっては心地よく響く。これを協和するという。

■最初の基本音をドとすると、右側の３／２倍音の音高はソとなり、左側の３倍音はオクターヴ上のソの音の関係になる。音楽的に表現すると５度上音と、（５＋７＝）12度上音となる。ここで見た最初の基本音と倍音の関係や、弦長が１／３と２／３の倍音の関係のようなオクターヴの関係は、私たち人間の聴覚においては、男女混声の合唱をオクターヴ離れたユニゾンで歌っているように、音高は違うが本質的に元の音と同じ音として感覚的に認識されている。

　　　

■私たちの音感は等差数列的ではなく等比数列的である。上図上はピアノの鍵盤の配置が、実は対数目盛りの数直線に等しいということを示してある。基本音に対してオクターヴ上がるごとに振動数は２、４、８…倍となり、また下がるごとに１／２、１／４、１／８…となっている。現代のピアノはそれぞれの鍵が１つ前の鍵に２の12乗根（1.059463…）をかけた振動数に調律されているので、ピュタゴラス音階とはわずかなズレがあるが基本構造としては同じである。

■この対数目盛りの数直線をオクターブ音が真上に来るような円環らせん状に変形し、それを真上から平面に投影すると上図下のようになる。この基本音と上下オクターヴ音はみな同じ１点に重なる。では次にこの基本音の位置を円と重ね合わせた時計の文字盤の０（＝12）時の方向に据えて、そのほかの音との関係を見てみることにしよう。まずは最初に見た弦長が２／３の音、もしくは弦長と振動数は反比例するので振動数が３／２倍の音の位置を見ていこう。

■手元の電卓で計算すると、常用対数のlog３／log２＝0.477121254／0.301029995＝1.584962501となる。360度にこれを掛けると570.05865003度となる。これを時計の１時間分の30度で割ると、19.01955001時、つまりほぼ12時間分一回りした上での７時の位置になる。音程の単位であるセントで見れば、702（／1200）セントだから、やはりほぼぴったり７時の位置となる。（この誤差0.05865003度または２セントが後に狼音を生むのだが、今は言及しない。）

　　　

■この基本音ドに対するソの音は７時の位置に来るが、ただ振動数が3/2倍の音高だけでなく、３、６、12、24…倍及び3/4、3/8、3/16…倍の音もみなこの位置に重なることになる。では次にこの７時の位置をドとした場合のソの位置をだしてみよう。するとそれはこの時計円の２時の位置にくる。この振動数は一番最初の音の９倍（18、36、72…及び9/2、9/4、9/8…も含む）である。同じ手順をもう１度繰り返すと９時の位置にくる。

■さらにこれを続けると、順次時計の文字盤の４時、11時、６時、１時、８時、３時、10時、５時、12(０) 時と定まる。これを最初の12(０) 時の位置をＣとして表わすと、以下順にＧ、Ｄ、Ａ、Ｅ、Ｂ、Ｆ#、Ｃ#、Ｇ#、Ｄ#、Ａ#、Ｆ、そしてＣとなる。ピュタゴラス本人はおそらくここまではやらなかっただろうが、これでピュタゴラス音階の完成である。こまの円環を再びピアノの鍵盤上に戻してくるくる回せば、白鍵と黒鍵の12音にしっかり対応している。

2009.03.05 Thursday