#001  1,2,3を数えなおす(3)

■1つの正6面体に内接・中接・外接する正8面体の1辺の長さは1:2:3であることは以前示した。上図左下はその3つの正8面体(及び正6面体)の重心を重ねて示したものである。分かり易いように色分けしてあるが、煩雑なので面の色はそれぞれ1面だけ示してある。

■辺長比はまたそれぞれの部分の長さの比でもあるので、重心から頂点までの長さ(これはそれぞれ内接球・中接球・外接球の半径に等しい)もまた1:2:3とシンプルになっていることが分かるだろう。

■3つの正8面体の体積比は1:8:27になっているが、これを感覚的に分かりやすいように上図右下にこの体積比を正6面体で表わしておいた。正8面体と正6面体の内接・外接の方向を交差させているのが中接の位置である。体積比はその名の通り8:6(=4:3)である。

■正8面体と正6面体の諸関係は、単なる立体幾何学的な面点変換できる相対立体であるに留まらず、より根源的な諸関係の顕現したものでもあるが、単なる象徴や同型対応モデルとして扱う以上のものと捉え、それらの本質を自らの言語で展開していくのは各人にお任せする。

2009.01.03 Saturday