■プラトン立体とクラドニパターン(１)−２２

　　　

■正４面体は前節で見たように、正３角形２枚を70.5度の角度で「くの字」形に折って、それを直交するようにくっつけた形だ。しかしエッジが結節線でないので純正の正４面体ではないと考えることもできる。そうするともう１つの方法は、エッジも含めた隣り合う面同士が反対方向に振動するように各面を分割するということだ。正３角形を２分するのは線対称だが残る２角が30度と60度の直角３角形にする形がある。

■４面のエッジを挟んだ両面での振動方向が逆になるように配置したものが、上図上段左から２番目の正４面体である。また右から２番目の図は、この関係が視覚的に分かりやすいように、振動する片方の面を透明にしたものだ。なお上段右の図は、この形状を中心から外接球表面に投影したものである。半分に分割したことによって、正８面体の対称性と同じになっていることが分かる。これを面点変換すれば正６面体になる。

■上図下段左は、この２分割した正３角形とそれからなる正４面体の展開図だ。また真ん中の図は、３角形の形は異なるがその面積が等しい塗り分けパターンの１面と展開図である。この対称性が均等でないことは、頂点及び２つの線中に集まる線数が８本の点と４本の点があることでも分かる。２分割、４分割の次の８分割したものが上図下段右の１面及び展開図のパターンである。ここでは面の３重回転対称性を回復している。

　　　

■１点に３線が集まる正６面体もまた、面同士が交互に振動することができない。前節では正６面体の３面ずつが「コの字」形で連動する非正規パターンを見たが、ここでは正方形に対角線が１本入ったパターンを考えてみよう。８つの頂点にうまく４本の線を集めると、隣り合う面同士がみな反対方向に動けることを上図上段は示している。ここでも右端の図はこの関係が分かりやすいように、振動の片方だけを透明にしてみた。

■正方形の板上の砂が作る最もシンプルなクラドニパターンは＋と×だった。このうちの＋パターンは頂点に３本の線という正６面体の要素が変わらないので塗り分けは不可能だが、×パターンは上図下段左から２番目に示したように、８頂点に８本の線が、そして６つの面央には４本の線が集まるので塗り分けが可能である。なお中の左図は＋と×の組み合わせパターンであり、右図はそれを球面上に投影して見たものである。

■さらに下段右端の図は、正８面体の各面を回転対称性を保持したまま分割したものだ。実はこれを中心から球面に投影しても、やはり右から２番目の図と同じになる。つまり正８面体の各面を３重回転対称性にして６分割したものと、正６面体の各面を４重回転対称性にして８分割したものとは、共にこの形になるということだ。さらにこの球面投影図は、正６面体と正８面体の相貫体のパターンを球面に投射したものとも等しい。

2009.02.14 Saturday