■クラドニパターン…２次元の振動−２０

　　　

■クラドニは簡単な共鳴システムからプレート上に様々な幾何学的定在波パターンが生起することを示した。中央で固定された正方形のプレートに砂を撒いて振動させると、砂はばらばらに跳ね回りながら、振動しない結節部分に集まる。クラドニパターンとは振動する板上に生じる、視覚化された様々な共鳴パターンである。結節部の両側は逆方向に動く。１周期で片方が下降−上昇をすると、隣の部分は逆に上昇−下降をする。

■上に示した図はプレートが円形のパターンと、方形のパターンである。線に区切られた２つの面は互いに反対に方向に動いているので、分かりやすいように塗り分けてみた。これからも分かるように面は必ず偶数になる。また線は振動が打ち消しあって静止する結節部であり、点線の交点として振動しない結節点（ノード）であり、、面は幾何学的要素のように振動する部分としない結節線・点を含んでいることが分かる。

■高い調和振動はより高い振動エネルギーを顕わす。上下運動が激しくなればなるほど、中心の固定部分は動かなくなる。振動中に板の任意の点に触れると、そこが新しい別の結節部となって異なるパターンが得られる。また吊るすなどして板を固定しなかったり、形状の異なるプレートを用いることで、板にはさらに多くのパターンを生じさせることができる。これはまた流体表面の振動にも拡張することができる。

　　　

■流体層の振動を操作することによって正３角形、正６角形、超格子と準結晶配列などのパターンを示すことができる。しかしこれはまだ、単純に振動を上げていくことによって複雑な幾何学的なパターンを生じる現象のほんのの表面に触れただけなのだ。上図下は液体を入れた容器をいろいろな周波数で振動させることでできた、６角形・長方形の格子・準結晶形状・複数形状の混合の定常波パターンを示したものである。

■また観察することが難しかったために注目されてなかったが、球や立方体のような立体の振動共鳴系における共鳴形体の立体表面や内部に生じる多くの定常波パターンもあるはずだ。「円⇔方形」の関係を「球⇔立方体」に拡張することは可能である(上図上)。体積を等しく保ったままでないので円積問題の立体化ではないが、プラトン立体など対称性の高い多面体を内部から膨らませて球にすること（及びその逆）は可能である。

2009.02.11 Wednesday