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D-010 正20面体の頂点立ち上げと黄金比
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■1■正20面体は点12、線30、面20(正3角形)の要素からなり、3次元空間で最大の面数を持つ凸正多面体である。正12面体とは双対の関係にある。全部で8種あるデルタ多面体の中で最も面数が多い多面体であり、正5角柱を捩った正反5角柱の両端に正5角錐をつけた形で、向かい合う面は全て平行である。
■2■凸の多面体は展開図を見ればイメージできるように、それぞれの点が周角360度からある角度を削り取って立体として立上がり頂点を作ると考えれば、その時削り取られた角度を「不足角」という。正20面体の1頂点の不足角は、正5角錐として立ち上がるために、正3角形1枚を取り除いた分の60度だ。
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■3■正20面体は12頂点あるので、全部で不足角は(60×12=)720度になる。全ての凸多面体の不足角の合計は720度だった。平面の正3角形を内接する円は、正5角錐の底面を内接する円へと縮小する。底面の5つの3角形の中心に集まる頂角は、60度から72度になる。では立ち上がった高さはとれ程だろう。
■4■図で示したように正5角錐の斜面は正3角形なので、1辺を1とすると、その高さと底面の中心から正5角形の端点までの長さの比は1:φになる。実数値の比では正20面体の1辺を1とすると、0.525731112…:0.850650808…となる。12の頂点がこの正5角錐の形になることで、正20面体が形成される。
■5■正20面体は正5角柱を36度だけ捩った正反5角柱の上下面に、正5角錐を2つ接続させた形に等しい。この正5角錐の体積は0.301502832…となり、正反5角柱の体積は1.578694425…なので、正20面体の体積は2.181694991…となる。なお上下の5角錐2つと正反5角柱の体積比は1:φ2になっている。
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■6■ところで正20面体の重心点と任意の1辺をつないでできる2等辺3角形は、ギザの大ピラミッドの4斜面の形と合同である。大ピラミッドの4つの斜面は正確に東西南北の方位を向いている(誤差は1/20度)。またこの2等辺3角形の底辺の半分(115.185m)と高さ(186.444m)の比は1:φになっている。
■7■この大ピラミッドの1底辺長は232mをピラミッドキュービットに変換すると365.242単位で地球の1年の日数と等しくなるとか、この底辺周長を高さの2倍で割ると円周率πに極似した数字となるなど、様々な比率が存在する。ここではそれらに言及しないが、正20面体にもそれらが内在しているのだ。
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