Ｄ-010　正20面体の頂点立ち上げと黄金比

■１■正20面体は点12、線30、面20(正３角形)の要素からなり、３次元空間で最大の面数を持つ凸正多面体である。正12面体とは双対の関係にある。全部で８種あるデルタ多面体の中で最も面数が多い多面体であり、正５角柱を捩った正反５角柱の両端に正５角錐をつけた形で、向かい合う面は全て平行である。

■２■凸の多面体は展開図を見ればイメージできるように、それぞれの点が周角360度からある角度を削り取って立体として立上がり頂点を作ると考えれば、その時削り取られた角度を「不足角」という。正20面体の１頂点の不足角は、正５角錐として立ち上がるために、正３角形１枚を取り除いた分の60度だ。

　　　

■３■正20面体は12頂点あるので、全部で不足角は(60×12＝)720度になる。全ての凸多面体の不足角の合計は720度だった。平面の正３角形を内接する円は、正５角錐の底面を内接する円へと縮小する。底面の５つの３角形の中心に集まる頂角は、60度から72度になる。では立ち上がった高さはとれ程だろう。

■４■図で示したように正５角錐の斜面は正３角形なので、１辺を１とすると、その高さと底面の中心から正５角形の端点までの長さの比は１：φになる。実数値の比では正20面体の１辺を１とすると、0.525731112…：0.850650808…となる。12の頂点がこの正５角錐の形になることで、正20面体が形成される。

■５■正20面体は正５角柱を36度だけ捩った正反５角柱の上下面に、正５角錐を２つ接続させた形に等しい。この正５角錐の体積は0.301502832…となり、正反５角柱の体積は1.578694425…なので、正20面体の体積は2.181694991…となる。なお上下の５角錐２つと正反５角柱の体積比は１：φ^２になっている。

　　　

■６■ところで正20面体の重心点と任意の１辺をつないでできる２等辺３角形は、ギザの大ピラミッドの４斜面の形と合同である。大ピラミッドの４つの斜面は正確に東西南北の方位を向いている(誤差は１／20度)。またこの２等辺３角形の底辺の半分(115.185ｍ)と高さ(186.444ｍ)の比は１：φになっている。

■７■この大ピラミッドの１底辺長は232ｍをピラミッドキュービットに変換すると365.242単位で地球の１年の日数と等しくなるとか、この底辺周長を高さの２倍で割ると円周率πに極似した数字となるなど、様々な比率が存在する。ここではそれらに言及しないが、正20面体にもそれらが内在しているのだ。