Ｄ-009　金星・地球・火星の３体問題

■１■土星の外側の惑星が知られるまでは、水星・金星・地球・火星・木星・土星という６つの惑星が知られていた。ヨハネス・ケプラーはこの６つの軌道球殻の間にある５つの空間に、正８面体・正20面体・正12面体・正４面体・正６面体の順番でプラトン立体をはめ込むという幾何学的な宇宙観を構築した。

■２■上図はケプラーの太陽系モデルを各惑星間個別に表現し直した画像である。ケプラーのオリジナルな画像モデルは下図に示した。どちらの図からも分かる通り、金星軌道と地球軌道の間には正20面体が、地球軌道と火星軌道の間には正12面体が入れ込まれている。共に５重対称性を有する双対立体である。

■３■殻で厚みを調整したり新惑星発見があったりしたので、ケプラーのモデルは現在では破棄されているが、５重対称性を有する双対立体を逆に配置すれば、うまく整合することが分かっている。下図左は正12面体と正20面体を面の強調、線の強調、点の強調(直径が１辺に等しい球体)で表現したものである。



■４■この点の強調で表された２立体を、１つの球殻に内接させてみよう。まずは12個の球体で表された正20面体を内接させてみよう。そしてこの12個の全ての球の中心を通る球殻を想定しよう。次に20個の球体で表された正12面体を内接させ、この20個の球体の内部にぴったり内接する球体を想定してみよう。

■５■するとこの(1)20個の球体で表された正12面体の内部にぴったり内接する球殻、(2)12個の球体で表された正20面体の全ての球の中心を通る球殻、(3)このどちらをもぴったり内接させる球殻は、金星軌道殻、地球軌道殻、火星軌道殻に対応していることになるのだ。それぞれ幾何学的な比率を見てみよう。

■６■12個の球体の重心を全て通る球殻と、12個の球体で表される正20面体の外接球の半径の差は、この正20面体の小球の半径であり、それはまた正20面体の１辺の１／２である。１辺が１の正20面体の外接球半径は{√(10＋2√5)}／4であり、外接球半径はこれに0.5を足したもので、ほぼ0.951と1.451になる。


　　　金星・地球・火星の軌道殻と球体で表した正12面体・正20面体の関係

■７■すなわちほぼ１：1.5258…である[1]。地球と火星の平均軌道長半径は1.496×10^８km及び2.279×10^８kmなので、こちらはおよそ１：1.5234…となる[2]地球と太陽の間の平均距離を１とした天文単位だと１AUと1.5237AUだ[3]。つまりこの２つの殻は火星と地球の球殻と99％以上の精度で同型対応する。

　　　　[1] 0.951／1.451＝1.5258…
　　　　[2] 1.496／2.279＝1.5234… （10^８kmは相殺）
　　　　[3] 地球平均軌道：火星平均軌道＝１AU：1.5237AU

■８■１辺１の正12面体の外接球半径は(√15＋√３)／４で表わされるから、火星の平均軌道球殻の半径はこの正12面体の１辺に１／２を足したものとなり、またこれにすっぽり収まる内殻の半径は１辺の１／２を引いたものとなる｡実際に計算すると比は約1.90126…：0.90126…＝2.1096…：１になる[4]。

■９■金星の平均軌道長半径は1.082×10^８kmであり、火星のそれは前述した通り2.2796×10^８kmなので、これらの比は2.1063…：１となる[5]。また天文単位だと0.7233：1.5237＝１：2.1066…[6]なので、こちらも99％以上の精度で同定できる。この近似関係の絶妙さは、実に美しくはないだろうか(※1)。

　　　　[4] 1.901／0.901＝2.1096…
　　　　[5] 2.279／1.082＝2.1063… （10^８kmは相殺）
　　 　 [6] 金星平均軌道：火星平均軌道＝0.7233：1.5237＝１：2.1066…



(※1)ジョン・マルティーノ『星たちのダンス』(青木薫訳、ランダムハウス講談社刊) のヒントを参考に、実際に計算して確かめてみたもの。