Ｃ-010　ベクトル平衡体と菱形12面体

■１■ベクトル平衡体(立方８面体)はアルキメデス立体の１種だ。正６面体と正８面体を中接球を共有させて相貫体にした時、内部で重畳している部分の形状がベクトル平衡体であり､外部頂点を繋いでできる立体が菱形12面体だった｡ベクトル平衡体と菱形12面体とは、互いに面点変換が可能な双対立体である。

■２■正６面体の８頂点を重心方向に線心まで切り落とすと、元の正方形６面は45度回転した面積１／２の正方形６面となり、元の８頂点は正３角形８面となる。同様に正８面体の６頂点を線心まで切り落とすと、元の正３角形８面は逆向きで面積１／４の正３角形８面となり、元の６頂点は正方形６面となる。

■３■ベクトル平衡体は点12、線24、面14(正方形６面、正３角形８面)からなる。どの点にも正３角形２面と正方形２面が交互に集まる。頂点と重心との距離､つまり外接球半径は辺長に等しい。２面角は125度16分､中心角は60度で、１辺ａの時、表面積は(６＋２√３)ａ^２、体積はａ^３(５√２)／３である。

■４■菱形12面体は点14､線24､面12(対角線の長さの比が１：√２の菱形で、内角の鈍角が109.5度、鋭角が70.5度)からなり、２面角は120度、中心角は60度である。また直交する対角線と１辺が作る直角３角形の３辺の長さの比は１：√２：√３になっている。さらにまた菱形12面体は空間充填立体である。

■５■１つの頂点に集まる面数は３面と４面とがあり、(1)109.5度が３つで328.5度(＝360−31.5度)、(2)70.5度が４つで282度(＝360−78)である。この(1)が８点、(2)が６点の合わせて14点だが、その360度からの欠落角度の和は720度である。(1)の和の252度と(2)の和の468度は７：13で合計720度である。

■６■正６面体の頂点からの正８面体の切り出し。立体対角線に沿って正６面体の頂点を最初の面が全てなくなるまで切頂化していくと正８面体になる。そして正６面体の頂線からの菱形12面体の切り出し。そして正６面体の線を最初の面が全てなくなるまで切頂化していくと、上図のように菱形12面体となる。

■７■ベクトル平衡体は14面があり、面点変換すると菱形12面体の14の点になる。従ってこの双対立体の間で面点変換を２度繰り返して元の立体に戻る過程での<14面→14点>＋<14点→14面>(あるいはその逆)を１つずつ巡ることを、月の28相の<新月→満月>＋<満月→新月>に対応して考えることも可能であろう。