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C-010 ベクトル平衡体と菱形12面体
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■1■ベクトル平衡体(立方8面体)はアルキメデス立体の1種だ。正6面体と正8面体を忠節球を共有させて相貫体にした時、内部で重畳している部分の形状がベクトル平衡体であり、外部頂点を繋いでできる立体が菱形12面体だった。ベクトル平衡体と菱形12面体とは、互いに面点変換できる双対立体である。
■2■正6面体の8頂点を重心方向に線心まで切り落とすと、元の正方形6面は45度回転した面積1/2の正方形6面となり、元の8頂点は正3角形8面となる。同様に正8面体の6頂点を線心まで切り落とすと、元の正3角形8面は逆向きで面積1/4の正3角形8面となり、元の6頂点は正方形6面となる。
■3■ベクトル平衡体は点12、線24、面14(正方形6面、正3角形8面)からなる。どの点にも正3角形2面と正方形2面が交互に集まる。頂点と重心との距離、つまり外接球半径は辺長に等しい。2面角は125度16分、中心角は60度で、1辺aの時、表面積は(6+2√3)a2、体積はa3(5√2)/3である。
■4■菱形12面体は点14、線24、面12(対角線の長さの比が1:√2の菱形で、内角の鈍角が109.5度、鋭角が70.5度)からなり、2面角は120度、中心角は60度である。また直交する対角線と1辺が作る直角3角形の3辺の長さの比は1:√2:√3になっている。さらにまた菱形12面体は空間充填立体である。
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■5■1つの頂点に集まる面数は3面と4面とがあり、(1)109.5度が3つで328.5度(=360−31.5度)、(2)70.5度が4つで282度(=360−78)である。この(1)が8点、(2)が6点の合わせて14点だが、その360度からの欠落角度の和は720度である。(1)の和の252度と(2)の和の468度は7:13で合計720度である。
■6■正6面体の点からの正8面体の切り出し。正6面体の頂点を最初の面が全てなくなるまで切頭化していくと正8面体になる。正6面体の線からの菱形12面体の切り出し。そして正6面体の線を最初の面が全てなくなるまで切頭化していくと、上図のように菱形12面体となる。
■7■なおベクトル平衡体は14面あり、面点変換すると菱形12面体の14の点になる。従ってこの2つの双対立体の<14面+14点>に注目すると、月の28相の<新月→満月>+<満月→新月>に対応して考えることもできる。
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