■１■上の数式群は（ａ＋ｂ）の累乗の計算で二項展開といい、各項の係数は二項係数という。ここで注目するのは各式の係数部分だ。この係数部分だけを取り出して並べると以下のようにピラミッド形の数の並びになる。この展開図は17世紀の数学者パスカルにちなんで「パスカルの３角形」と呼ばれている。

■２■なおパスカルの存命期間は<1623〜1662>だが、これと同様の記述はさらに３世紀前の元国の数学者朱世傑の著書『四元玉鑑』にもあることが知られている。名前に固執せずここで注目してほしいのは各式の係数部分だ。この係数部分だけを取り出して並べると以下のようにピラミッド形の数の並びになる。

■３■この展開はさらに繰り返し続くが、この中には実にさまざまな特徴が見て取れる。
　　<Ａ>左右対称である。
　　<Ｂ>線で結ばれている２数の和が下段の数になる。
　　<Ｃ>両端から２番目の数が各段のｎに等しい。
　　<Ｄ>上から３段目の１から始まる斜めの数列は(ｎ−１)項の３角数を表している。
　　<Ｅ>上から４段目の１から始まる斜めの数列は(ｎ−２)項の正４面体数を表している。
　　<Ｆ>上から５段目の１から始まる斜めの数列は(ｎ−３)項のホロン正４面体数を表す。

■４■下表はパスカルの３角形に表われる数の流れを並べてみたもので、様々な次元における最小ユニットの構成要素の数と対比させたものだ。右図の中に矢印で示した右上から斜め左下へと連なる数の流れが、それぞれの形態の構成要素の数となっている。正４面体は３次元における最もシンプルな多面体だ。

■５■下表からも分かるように、３次元の正４面体に相当する２次元の最もコンパクトな多角形は正３角形だ。同様に１次元ではそれは線分になり、０次元ではただの１点になる。また逆に３次元では正４面体が１つしか持たなかった胞を、４次元で対応する「正５胞体」は５つ持つということもこ見て取れる。

■６■つまり正４面体は３次元で<点４･線６･面４･胞１>の立体だが､それに２次元で対応するのは<点３･線３･面１>の正３角形であり、１次元で対応するのは<端点２･線１>の線分だ。また４次元で対応するのは<点５･線10･面10･胞５>の正５胞体である。同様にして更なる上次元もずっとトレースできるだろう。この表の線数の増加が３角数に、面数の増加は正４面体数になっている。

NUMBER 01-035:パスカルの３角形