■惑星グリッドとクラドニパターン−２４

　　　

■惑星グリッドの細分化という表現をしたが、このままどんどん２分割を進めていく方向のみでなく、１つにはバックミンスター・フラーがフラードームの形状として研究したような方法での球体への漸近方法が考えられ、もう１つは惑星グリッドの１面１面を均等に分割していくだけでなく、他の位置にあるグリッド点などを結んだ時にできる２次的な多角形群、及びそのさらなる分割の方法がある。まずは前者から見ていこう。

■バックミンスター・フラーは正20面体の各辺を順次等分割し、それらをつないで正３角形を分割して行く方法を取った。ヘンの分割数を彼は頻度数(frequency)と表現したが、度数１はそのまま正３角形の20面体だが、度数２だと各面が４つの正３角形に、度数３だと９個に、度数４だと16個に…というように、度数の２乗個ずつに分割されていく。12の頂点部分だけは定常波でないが、頻度が高くなるほどそ部分の歪みが少なくなる。

■上図はバッキーがドームを製作する時のものだが、このまま振動する球体表面が倍音的振動数によって同じ形態（この場合は正20面体）を保って多重振動数のグリッドを形成するモデルとしても見ることができる。地球そのものは自転・公転や太陽や月や諸惑星の影響を受けている回転楕円体だが、理想的球体と想定すれば惑星グリッド及びその２次的構造のように、フラードーム的な形状を基にしたクラドニパターンもありえよう。

　　　

■上の図上段は共に切頭20面体（もしくはＣ−60などでも有名なサッカーボールの形をしたバックミンスターフラーレン）の再分割である。左図は切頭20面体の12面ある正５角形を10分割し、20枚ある正６角形を12分割して同じ直角３角形の360面体にしたものであり、右図は12面ある正５角形を５分割し、20枚ある正６角形を６分割して３角形の180面体にしたものだ。後者は擬似立体の正３角形180面体として綿棒などで製作可能である。

■上の図下段は共にネット上から借用したものだが、左が惑星グリッドの２次分割線郡で地球を覆ってみた図であり、右はフラーの言うfrequency３を地球の上にプロットしてみた図である。なお頻度数１は正20面体、頻度数２は20−12面体の正５角形を３角形５枚にしたペンタキス20面体、頻度数３は切頭20面体である。なお正12面体各面を10分割してその面央点を外接球まで立ち上げた立体は幾何学的にはHexakis Icosahedronという。

■なお惑星グリッド的な分割でもフラードーム的な分割でもないが、地球を両極から対方向の螺旋を交差させて分割する方法もあるだろう。両極に近づくにしたがって面積が狭まっていくけれど、幾何学とは別のところから２例見てみよう。左はフラーのテンセグリティ的構造を分子生物学の核膜レベルに応用しようと考えた球体モデルだが、これはマヤの体系を元にした『ドリームスペル』の「惑星ホロン」という図を連想させる。

2009.02.16 Monday